10.7-bo'lim : Taqqoslash testi/Limit taqqoslash testi
1. Quyidagi qatorlar yaqinlashadimi yoki uzoqlashadimi, aniqlang.
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( {\frac{1}{{{n^2}}} + 1} \right)}^2}} \]Yechim
Birinchidan, ketma-ket atamalar,
\[{a_n} = {\left( {\frac{1}{{{n^2}}} + 1} \right)^2}\]va bu holda ular ijobiy ekanligi aniq bo'lishi kerak va shuning uchun biz ushbu seriyada taqqoslash testidan foydalanishimiz mumkinligini bilamiz.
Sinovni amalda qo'llashdan oldin har doim ma'lum bir seriyali test shartlarini tekshirish juda muhimdir. Ko'pgina talabalar ketma-ket test bilan yo'l qo'yadigan eng katta xatolardan biri bu test shartlariga javob bermaydigan seriyadagi testdan foydalanish va shu sababli noto'g'ri javob olishdir!
2-qadam
Taqqoslash testining aksariyat muammolari uchun biz odatda konvergentsiyani taxmin qilamiz va u erdan davom etamiz. Biroq, bu holda, umid qilamanki, har qanday \(n\) uchun,
\[{\left( {\frac{1}{{{n^2}}} + 1} \right)^2} > {\left( 1 \right)^2} = 1\]Keling, quyidagi seriyalarni ko'rib chiqaylik,
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty 1 \]Chunki \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } 1 = 1 \ne 0\) biz Divergentsiya testidan bu qator divergent bo'lishini ko'rishimiz mumkin.
Shunday qilib, biz asl turkum atamalaridan kichikroq atamalar bilan ajralib turadigan qatorni topdik. Shuning uchun, taqqoslash testi bilan muammo bayonotidagi qatorlar ham bo'lishi kerak turlicha.
Ushbu muammo bo'yicha yakuniy eslatma sifatida biz ushbu javobga erishish uchun taqqoslash testini o'tkazishimiz shart emasligiga e'tibor bering. Biz boshidanoq Divergensiya testidan foydalanishimiz mumkin edi, chunki
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{1}{{{n^2}}} + 1} \right)^2} = 1 \ne 0\]Bu ketma-ket konvergentsiya muammolari bilan doimo yodda tutishingiz kerak bo'lgan narsadir. Divergensiya testi - bu tez sinov bo'lib, ba'zida ketma-ket ajralishini tezda aniqlash va shuning uchun boshqa testlarning ko'p qiyinchiliklarini oldini olish uchun ishlatilishi mumkin.