10.1-bo'lim : Ketma-ketliklar
4. Berilgan ketma-ketlikning yaqinlashish yoki ayrilishligini aniqlang. Agar u yaqinlashsa, uning chegarasi qancha?
\[\left\{ {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 2}}{n^2}}}{{4 + {n^3}}}} \right\}_{n = 0}^\infty \]Yechim
Bunga javob berish uchun bizga kerak bo'lgan narsa - ketma-ketlik shartlarining quyidagi chegarasi.
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 2}}{n^2}}}{{4 + {n^3}}}\]Biroq, \({\left( { - 1} \right)^{n - 2}}\) tufayli biz Calculus I dagi hisoblash chegaralari haqidagi bilimlarimizdan foydalanib, bu chegarani hisoblay olmaymiz.
2-qadam
Eslatib o'tamiz, ushbu bo'limdagi eslatmalarda bizda yuqoridagi chegarani emas, balki ketma-ketlik shartlarining mutlaq qiymatining chegarasini hisoblashimiz kerak bo'lgan yoqimli fakt bor edi.
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 2}}{n^2}}}{{4 + {n^3}}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{n^2}}}{{4 + {n^3}}} = 0\]Bu biz hisoblashimiz mumkin bo'lgan chegara, chunki mutlaq qiymat o'zgaruvchan belgidan xalos bo'ldi, i.e. \({\left( { - 1} \right)^{n + 2}}\).
3-qadam
Endi, sinfdan olingan faktga ko'ra, ketma-ketlik shartlarining mutlaq qiymatining chegarasi nolga teng bo'lganligi sababli (va shuni esda tutingki, bu faktdan foydalanish uchun chegara nolga teng bo'lishi kerak!) biz quyidagi chegarani ham bilamiz.
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 2}}{n^2}}}{{4 + {n^3}}} = 0\]4-qadam
Biz atamalarning chegarasi borligini va cheklangan son ekanligini ko'rishimiz mumkin, shuning uchun biz ketma-ketlikni bilamiz birlashadi va uning chegarasi nolga teng.