Endi biz \(\theta \) ning grafiklar kesishgan qiymatlarini aniqlashimiz kerak (oldingi bosqichda grafikdagi qora chiziqlar bilan ko'rsatilgan).

Ularni topish juda oson. Grafiklar kesishgan joyda ular \(r\) qiymati bilan bir xil bo'lishi kerakligini bilamiz. Shunday qilib,

\[\begin{align*}2 + \sin \theta & = 1 - \sin \theta \\ \sin\theta & = - \frac{1}{2}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\theta = {\sin ^{ - 1}}\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - \frac{\pi }{6}\end{align*}\]

Bu grafiklar kesishgan to'rtinchi kvadrantdagi burchak uchun mumkin bo'lgan qiymatlardan biridir. Birlik doiraning qisqacha chizmasidan biz bu burchak uchun ikkinchi mumkin bo'lgan qiymat ekanligini ko'rishimiz mumkin,

\[\theta = 2\pi - \frac{\pi }{6} = \frac{{11\pi }}{6}\]

Birlik doirasining qisqacha chizmasidan biz ikki grafik kesishgan uchinchi kvadrantdagi burchak qiymatini tezda olishimiz mumkin.

\[\theta = \pi + \frac{\pi }{6} = \frac{{7\pi }}{6}\]

Mayli. Endi bizda haqiqiy muammo bor. Esingizda bo'lsin, burchaklar kichikroq qiymatdan kattaroq qiymatlarga o'tishi kerak va ular buni qilganda, ular yopiq maydonning chegara egri chiziqlarini kuzatishi kerak.

Agar biz \( - \frac{\pi }{6} \le \theta \le \frac{{7\pi }}{6}\) dan foydalansak, biz aslida soyali hudud ustida joylashgan katta "ochiq" yoki soyasiz hududni kuzatamiz.

Xuddi shunday, agar biz \(\frac{{7\pi }}{6} \le \theta \le \frac{{11\pi }}{6}\) dan foydalansak, soyali hudud ostida joylashgan kichikroq "ochiq" yoki soyasiz mintaqani aniqlaymiz.

Boshqacha qilib aytganda, biz ushbu bo'limdagi formuladan foydalanib, soyali maydonni topa olmaymiz.

Oldingi bosqichda ko'rganimizdek, soyali hududning maydonini olish uchun biz shunchaki integralni hisoblay olmaymiz. Biroq, bu biz soyali hududning maydonini topa olmasligimizni anglatmaydi. Biz bu muammoni hal qilish uchun biroz ko'proq harakat qilishimiz kerak.

Soyali maydonning maydonini topish uchun biz \(r = 1 - \sin \theta \) tashqarisidagi qismini olib tashlaganimizdan so'ng, soyali maydon \(r = 2 + \sin \theta \) ichidagi maydonning qolgan qismidan boshqa narsa emasligini ko'rishimiz mumkin.

Ko'rishning yana bir usuli shundaki, biz \(r = 2 + \sin \theta \) tashqarisidagi qismini olib tashlaganimizdan so'ng, soyali maydon \(r = 1 - \sin \theta \) ichidagi maydonning qolgan qismidir.

Biz soyali hududning maydonini topish uchun ushbu g'oyalardan birini qo'llashimiz mumkin. Biz birinchisidan boshqa sababsiz foydalanamiz, chunki u birinchi ro'yxatga kiritilgan.

Agar biz \(r = 2 + \sin \theta \) ichidagi umumiy maydonni bilsak (buni oddiy integral bilan topishimiz mumkin) va \(r = 2 + \sin \theta \) ichidagi va \(r = 1 - \sin \theta \) tashqarisidagi maydonni ham bilsak, soyali maydon bu ikki maydon orasidagi farqdan boshqa narsa emas.

Mayli, keling, \(r = 2 + \sin \theta \) ichidagi umumiy maydonni olishdan boshlaylik. Buni quyidagi integralni baholash orqali topish mumkin.

\[\begin{align*}A & = \int_{0}^{{2\pi }}{{\frac{1}{2}{{\left( {2 + \sin \theta } \right)}^2}\,d\theta }}\\ & = \frac{1}{2}\int_{0}^{{2\pi }}{{4 + 4\sin \theta + {{\sin }^2}\left( \theta \right)\,d\theta }}\\ & = \frac{1}{2}\int_{0}^{{2\pi }}{{4 + 4\sin \theta + \frac{1}{2}\left( {1 - \cos \left( {2\theta } \right)} \right)\,d\theta }}\\ & = \frac{1}{2}\int_{0}^{{2\pi }}{{\frac{9}{2} + 4\sin \theta - \frac{1}{2}\cos \left( {2\theta } \right)\,d\theta }}\\ & = \left. {\frac{1}{2}\left( {\frac{9}{2}\theta - 4\cos \left( \theta \right) - \frac{1}{4}\sin \left( {2\theta } \right)} \right)} \right|_0^{2\pi } = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{{9\pi }}{2}}}\end{align*}\]

E'tibor bering, biz \(r = 2 + \sin \theta \) ichidagi barcha maydonni olish uchun to'liq "inqilob" qilishimiz kerak va shuning uchun biz ushbu integral uchun \(0 \le \theta \le 2\pi \) diapazonidan foydalandik.

Endi \(r = 2 + \sin \theta \) ichidagi va \(r = 1 - \sin \theta \) tashqarisidagi maydon,

\[\begin{align*}A & = \int_{{ - \,\frac{\pi }{6}}}^{{\frac{{7\pi }}{6}}}{{\frac{1}{2}\left[ {{{\left( {2 + \sin \theta } \right)}^2} - {{\left( {1 - \sin \theta } \right)}^2}} \right]\,d\theta }}\\ & = \frac{1}{2}\int_{{ - \,\frac{\pi }{6}}}^{{\frac{{7\pi }}{6}}}{{3 + 6\sin \theta \,d\theta }}\\ & = \frac{1}{2}\left. {\left( {3\theta - 6\cos \left( \theta \right)} \right)} \right|_{ - \,\frac{\pi }{6}}^{\frac{{7\pi }}{6}} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{2\pi + 3\sqrt 3 }}\end{align*}\]

Esda tutingki, biz 2-bosqichda ushbu mintaqa uchun chegaralarni topdik.

Nihoyat, soyali maydon oddiy,

\[A = \frac{{9\pi }}{2} - \left( {2\pi + 3\sqrt 3 } \right) = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{5}{2}\pi - 3\sqrt 3 = 2.6578}}\]