Endi biz \(\theta \) ning grafiklar kesishgan joydagi qiymatlarini aniqlashimiz kerak (oldingi bosqichda grafikdagi qora chiziqlar bilan ko'rsatilgan).

Ularni topish juda oson. Grafiklar kesishgan joyda ular \(r\) qiymati bilan bir xil bo'lishi kerakligini bilamiz. Shunday qilib,

\[\begin{align*}6 + 2\cos \theta & = 4 - 2\cos \theta \\ \cos \theta & = - \frac{1}{2}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\theta = {\cos ^{ - 1}}\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{2\pi }}{3}\end{align*}\]

Bu grafiklar kesishgan ikkinchi kvadrantdagi burchak uchun qiymat.

Birlik doirasining qisqacha chizmasidan biz ikkita grafik kesishgan uchinchi kvadrantdagi burchakning ikkita mumkin bo'lgan qiymatini tezda ko'rishimiz mumkin.

\[\theta = 2\pi - \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{4\pi }}{3}\hspace{0.5in}\hspace{0.5in}\theta = - \frac{{2\pi }}{3}\]

Endi biz eslashimiz kerakki, burchaklar kichikroqdan kattaroq qiymatlarga o'tishi kerak va ular shunday qilganda, ular yopiq maydonning chegara egri chiziqlarini kuzatishi kerak. Buni yodda tutgan holda va biz ushbu muammo uchun ijobiy burchakdan foydalanishimiz kerakligini ko'rishimiz mumkin. Agar biz salbiy burchakdan foydalansak, biz egri chiziqlarimizning "o'ng" qismlarini kuzatgan bo'lardik va egri chiziqlarimizning "chap" qismlarini kuzatishimiz kerak.

Shuning uchun, bu muammo uchun \(\theta \) diapazonlari \(\frac{{2\pi }}{3} \le \theta \le \frac{{4\pi }}{3}\) bo'ladi.

Grafikdan biz \(r = 4 - 2\cos \theta \) ushbu mintaqa uchun "tashqi" grafik ekanligini va \(r = 6 + 2\cos \theta \) "ichki" grafik ekanligini ko'rishimiz mumkin.

Keyin hudud,

\[\begin{align*}A & = \int_{{\frac{{2\pi }}{3}}}^{{\frac{{4\pi }}{3}}}{{\frac{1}{2}\left[ {{{\left( {4 - 2\cos \theta } \right)}^2} - {{\left( {6 + 2\cos \theta } \right)}^2}} \right]\,d\theta }}\\ & = \int_{{\frac{{2\pi }}{3}}}^{{\frac{{4\pi }}{3}}}{{ - 10 - 20\cos \theta \,d\theta }}\\ & = \left. {\left( { - 10\theta - 20\sin \left( \theta \right)} \right)} \right|_{\frac{{2\pi }}{3}}^{\frac{{4\pi }}{3}} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{13.6971}}\end{align*}\]

Integraldagi barcha minus belgilaridan juda hayajonlanmang. Barcha atamalar oldida minus belgilari borligi, biz integraldan manfiy qiymat olishimiz kerak degani emas!