Endi biz \(\theta \) ning grafiklar kesishgan qiymatlarini aniqlashimiz kerak (oldingi bosqichda grafikdagi qora chiziqlar bilan ko'rsatilgan).

Ularni topish juda oson. Ular grafiklar kesishgan joyda bo'lgani uchun biz ular \(r\) qiymati bilan bir xil bo'lishi kerakligini bilamiz. Shunday qilib,

\[\begin{align*}3 + 3\sin \theta & = 2\\ \sin \theta & = - \frac{1}{3}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\theta = {\sin ^{ - 1}}\left( { - \frac{1}{3}} \right) = - 0.3398\end{align*}\]

Bu grafiklar kesishgan to'rtinchi kvadrantdagi burchak uchun mumkin bo'lgan qiymatlardan biridir.

Birlik aylanasining qisqacha chizmasidan ikkita grafik kesishgan uchinchi kvadrantdagi burchakni tezda olishimiz mumkin.

\[\theta = \pi + 0.3398 = 3.4814\]

Endi biz ushbu ikki burchakni maydon integrali uchun ishlatsak, muammoga duch kelamiz. Esingizda bo'lsin, burchaklar kichikroq qiymatdan kattaroq qiymatlarga o'tishi kerak va ular buni qilganda, ular yopiq maydonning chegara egri chiziqlarini kuzatishi kerak. Bu ikkisi buni qilolmasligi aniq. Darhaqiqat, ular oldingi muammodan hududni izlaydilar.

Ushbu muammoni hal qilish uchun, ehtimol, to'rtinchi kvadrantdagi burchakning boshqa qiymatini ko'rish uchun birlik doirasining tezkor eskizini ishlatish eng osondir,

\[\theta = 2\pi - 0.3398 = 5.9434\]

Uchinchi kvadrantda mavjud bo'lgan burchak bilan birga bu burchakdan foydalanish bizni qiziqtirgan maydonni aniqlaydi.

Shuning uchun, bu muammo uchun \(\theta \) diapazonlari \(3.4814 \le \theta \le 5.9434\) bo'ladi.

Grafikdan biz \(r = 2\) ushbu mintaqa uchun "tashqi" grafik ekanligini va \(r = 3 + 3\sin \theta \) "ichki" grafik ekanligini ko'rishimiz mumkin.

Keyin hudud,

\[\begin{align*}A & = \int_{{3.4814}}^{{5.9434}}{{\frac{1}{2}\left[ {{{\left( 2 \right)}^2} - {{\left( {3 + 3\sin \theta } \right)}^2}} \right]\,d\theta }}\\ & = \frac{1}{2}\int_{{3.4814}}^{{5.9434}}{{ - 5 - 18\sin \theta - 9{{\sin }^2}\left( \theta \right)\,d\theta }}\\ & = \frac{1}{2}\int_{{3.4814}}^{{5.9434}}{{ - 5 - 18\sin \theta - \frac{9}{2}\left( {1 - \cos \left( {2\theta } \right)} \right)\,d\theta }}\\ & = \frac{1}{2}\int_{{3.4814}}^{{5.9434}}{{ - \frac{{19}}{2} - 18\sin \theta + \frac{9}{2}\cos \left( {2\theta } \right)\,d\theta }}\\ & = \left. {\frac{1}{2}\left( { - \frac{{19}}{2}\theta + 18\cos \left( \theta \right) + \frac{9}{4}\sin \left( {2\theta } \right)} \right)} \right|_{3.4814}^{5.9434} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{3.8622}}\end{align*}\]

Yuqoridagi ikkinchi bosqichdagi barcha minus belgilar haqida juda hayajonlanmang. Barcha atamalar oldida minus belgilari borligi, biz integraldan manfiy qiymat olishimiz kerak degani emas!