Endi biz \(\theta \) ning diagrammaning boshlang'ich nuqtasidan o'tadigan qiymatlarini aniqlashimiz kerak (oldingi bosqichda grafikdagi qora chiziqlar bilan ko'rsatilgan).

Ularni topish juda oson. Ular grafikning kelib chiqishi bo'ylab o'tadigan joy bo'lgani uchun bizda \(r = 0\) bo'lishi kerakligini bilamiz. Shunday qilib,

\[\begin{align*}3 - 8\cos \theta & = 0\\ \cos \theta & = \frac{3}{8}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\theta = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{3}{8}} \right) = 1.1864\end{align*}\]

Bu birinchi kvadrantdagi burchak bo'lib, u erda grafik boshlang'ich nuqtadan o'tadi.

Bizga to'rtinchi kvadrantdagi burchak kerak bo'ladi. Bu ikkinchi burchak bilan biroz ehtiyot bo'lishimiz kerak. Biz har doim esda tutishimiz kerakki, biz oxir-oqibat hisoblaydigan integralning chegaralari kichikroqdan kattaroq qiymatga o'tishi kerak. Bundan tashqari, burchak kichikroq qiymatdan kattaroq qiymatga o'tganda, ular bizni qiziqtirgan mintaqaning chegara egri chizig'ini kuzatishi kerak.

Birlik doirasining qisqacha chizmasidan biz tezda to'rtinchi kvadrantdagi burchak uchun ikkita mumkin bo'lgan qiymatni olishimiz mumkin.

\[\theta = 2\pi - 1.1864 = 5.0968\hspace{0.75in}\theta = - 1.1864\]

Bizdan so'ralayotgan muammoga qarab, ulardan biri bizga kerak bo'lishi mumkin. Biroq, bu holda, agar biz birinchi burchakdan foydalansak (i.e. ijobiy burchak) biz aslida egri chiziqning tashqi qismini kuzatamiz va bu erda biz xohlagan narsa emas. Biroq, agar biz ikkinchi burchakdan foydalansak (i.e. salbiy burchak) biz bu burchakdan birinchi kvadrantdagi burchakka o'tayotganda ichki pastadirni kuzatamiz.

Shunday qilib, ushbu muammo uchun biz \(\theta = - 1.1864\) dan foydalanishimiz kerak.

Ushbu muammo uchun \(\theta \) diapazonlari \( - 1.1864 \le \theta \le 1.1864\) bo'ladi.

Keyin ichki halqaning maydoni,

\[\begin{align*}A & = \int_{{ - 1.1864}}^{{1.1864}}{{\frac{1}{2}{{\left( {3 - 8\cos \theta } \right)}^2}\,d\theta }}\\ & = \frac{1}{2}\int_{{ - 1.1864}}^{{1.1864}}{{9 - 48\cos \theta + 64co{s^2}\left( \theta \right)\,d\theta }}\\ & = \frac{1}{2}\int_{{ - 1.1864}}^{{1.1864}}{{9 - 48\cos \theta + 32\left( {1 + \cos \left( {2\theta } \right)} \right)\,d\theta }}\\ & = \frac{1}{2}\int_{{ - 1.1864}}^{{1.1864}}{{41 - 48\cos \theta + 32\cos \left( {2\theta } \right)\,d\theta }}\\ & = \left. {\frac{1}{2}\left( {41\theta - 48\sin \left( \theta \right) + 16\sin \left( {2\theta } \right)} \right)} \right|_{ - 1.1864}^{1.1864} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{15.2695}}\end{align*}\]

Ushbu integrallarni bajarish uchun zarur bo'lgan trig manipulyatsiyalarini bajarishingiz mumkinligiga ishonch hosil qiling. Ushbu bo'limdagi integrallarning aksariyati bunday manipulyatsiyani o'z ichiga oladi. Agar ularni qanday qilishni eslamasangiz, orqaga qayting va ko'rib chiqing Trig funksiyalarni o'z ichiga olgan integrallar bo'limi.