9.2-bo'lim : Parametrik tenglamalar bilan tangentlar
5. Quyidagi parametrik tenglamalar to'plami uchun gorizontal yoki vertikal tangens chiziqlarga ega bo'lgan \(t\) qiymatlarini toping.
\[x = {t^5} - 7{t^4} - 3{t^3}\hspace{0.25in}y = 2\cos \left( {3t} \right) + 4t\]Yechim
Ushbu muammo uchun bizga quyidagi lotinlar kerak bo'ladi.
\[\frac{{dx}}{{dt}} = 5{t^4} - 28{t^3} - 9{t^2}\hspace{0.5in}\hspace{0.25in}\frac{{dy}}{{dt}} = - 6\sin \left( {3t} \right) + 4\]2-qadam
Biz gorizontal tangens chiziqlar \(\frac{{dy}}{{dt}} = 0\), \(\frac{{dx}}{{dt}} \ne 0\) bilan bir xil \(t\) qiymatida paydo bo'lishini bilamiz.
Shunday qilib, gorizontal tangens chiziqlarni topish uchun biz hal qilishimiz kerak,
\[ - 6\sin \left( {3t} \right) + 4 = 0\hspace{0.5in}\,\,\, \to \hspace{0.5in}\,\,\,\,\sin \left( {3t} \right) = \frac{2}{3}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\, \to \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,3t = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{2}{3}} \right) = 0.7297\]Bundan tashqari, birlik aylanaga tez nazar tashlasak, ikkinchi burchakning,
\[3t = \pi - 0.7297 = 2.4119\]Gorizontal tangens chiziqlarni beradigan \(t\) ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari quyidagicha:
\[\begin{array}{*{20}{c}}{3t = 0.7297 + 2\pi n}\\{3t = 2.4119 + 2\pi n}\end{array}\hspace{0.25in}\, \to \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0.2432 + \frac{2}{3}\pi n}\\{t = 0.8040 + \frac{2}{3}\pi n}\end{array}\,,\,\,\,\,\,n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots \]Shuni esda tutingki, biz bu nuqtalarda \(\frac{{dx}}{{dt}} \ne 0\) ekanligini aniqlamagunimizcha, biz bu gorizontal tangens chiziqlarni berishini rasman bilmaymiz. Biz buni keyingi bosqichdan keyin aniqlay olamiz.
3-qadam
Bizga ma'lumki, vertikal tangens chiziqlar \(\frac{{dx}}{{dt}} = 0\), \(\frac{{dy}}{{dt}} \ne 0\) bilan bir xil \(t\) qiymatida paydo bo'ladi.
Shunday qilib, vertikal tangens chiziqlarni topish uchun biz hal qilishimiz kerak,
\[\begin{align*}5{t^4} - 28{t^3} - 9{t^2} & = 0\\ {t^2}\left( {5{t^2} - 28t - 9} \right) & = 0\hspace{0.25in}\,\,\,\, \to \hspace{0.25in}\,t = 0,\,\,\,t = \frac{{28 \pm \sqrt {964} }}{{10}}\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,\,t = 0,\,\,\,t = - 0.3048,\,\,\,t = 5.9048\end{align*}\]4-qadam
2-bosqich va 3-bosqichdagi \(t\) qiymatlarining ikkita roʻyxatini tezkor tekshirish natijasida biz ikkala roʻyxat oʻrtasida umumiy qiymatlar yoʻqligini koʻrishimiz mumkin. Shuning uchun \(t\) ning \(\frac{{dy}}{{dt}} = 0\) ni beradigan har qanday qiymatlari \(\frac{{dx}}{{dt}} = 0\) ni bermaydi va aksincha.
Shuning uchun gorizontal tangens chiziqlarni beradigan \(t\) qiymatlari:
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\,\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0.2432 + \frac{2}{3}\pi n}\\{t = 0.8040 + \frac{2}{3}\pi n}\end{array}\,,\,\,\,\,\,n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots }}\]Vertikal tangens chiziqlarni beradigan \(t\) qiymatlari:
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{t = 0,\,\,\,t = - 0.3048,\,\,\,t = 5.9048}}\]