10.2-bo'lim : Ketma-ketliklar haqida ko'proq
6. Quyidagi ketma-ketlikning ortib borayotgan, kamayuvchi, monoton emas, pastdan chegaralangan, yuqorida chegaralangan va/yoki chegaralanganligini aniqlang.
\[\left\{ {\frac{{ - n}}{{{n^2} + 25}}} \right\}_{n = 2}^\infty \]Yechim
Ushbu muammoni hal qilish uchun avval ortib borayotgan/kamayuvchi ma'lumotni olamiz.
Ushbu bo'limdagi 1-3-muammolar uchun agar biz \(n\) ni ko'paytirsak nima bo'lishini so'rash oson edi, bu muammo bo'yicha o'sish/kamayish ma'lumotlarini aniqlash uchun. Biroq, bu holda, \(n\) ni ko'paytirish surat va maxrajni oshiradi va shuning uchun bu erda tahlil qilish biroz qiyinroq bo'ladi.
Shuning uchun biz ko'paytirish/kamayish ma'lumotlarini aniqlash uchun ba'zi bir tezkor Hisob I ga murojaat qilamiz. Quyidagi funksiyani aniqlab, uning hosilasini olishimiz mumkin.
\[f\left( x \right) = \frac{{ - x}}{{{x^2} + 25}}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 25}}{{{{\left( {{x^2} + 25} \right)}^2}}}\]Umid qilamanki, funktsiyaning muhim nuqtalari \(x = \pm 5\) ekanligi aniq. Funktsiya \(2 \le x < 5\) diapazonida kamayib, \(x > 5\) oralig'ida ortib borishini tekshirish uchun tezkor raqamlar chizig'i yoki ishorali diagramma chizishni sizga qoldiramiz. E'tibor bering, biz bu erda ketma-ketligimiz uchun \(n\) diapazonlariga mos keladigan \(x\) diapazonlarini ko'rib chiqdik.
Endi, \(x\) butun son bo'lganda funktsiya qiymatlari ketma-ketlik qiymatlari bilan bir xil bo'lganligi sababli, \(n = 2\) dan boshlangan ketma-ketlikda ortib boruvchi va kamayuvchi hadlarga ega ekanligini ko'rishimiz mumkin. ortib borayotgan ketma-ketlik emas va ketma-ketlik kamayish emas ketma-ketlik. Bu ham ketma-ketlikni anglatadi emas monotonik.
2-qadam
Keling, qanday cheklangan ma'lumotlarni olishimiz mumkinligini ko'rib chiqaylik.
Bu holda, ushbu bo'limdagi ko'plab oldingi muammolardan farqli o'laroq, bizda monotonik ketma-ketlik yo'q. Biroq, biz hali ham chegaralarni aniqlashda yordam berish uchun yuqoridagi o'sish/kamayish ma'lumotlaridan foydalanishimiz mumkin.
Birinchidan, biz \(2 \le n < 5\) diapazonida ketma-ketlik pasayib, \(n > 5\) diapazonida ortib borayotganini bilamiz. Bizning hisob-kitoblardan bilamizki, bu \(n = 5\) ketma-ketlik shartlarining minimal bo'lishi kerakligini anglatadi va shuning uchun ketma-ketlik shunday bo'ladi. quyida chegaralangan by \(\frac{{ - 5}}{{50}} = - \frac{1}{{10}}\) (i.e. \(n = 5\) ketma-ketlik muddati).
Keyin yuqori chegarani qidiramiz (agar u mavjud bo'lsa). Ushbu muammo uchun keling, avval ketma-ketlik shartlari chegarasini tez ko'rib chiqaylik. Bu holda ketma-ketlik shartlari chegarasi:
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{ - n}}{{{n^2} + 25}} = 0\]Ushbu chegara bizning ketma-ketlik shartlarimizning xatti-harakati haqida nima deyishini eslang. Cheklov \(n \to \infty \) sifatida ketma-ketlik shartlari nolga yaqinlashib borishi kerakligini anglatadi.
Endi, bir soniya, \(n > 5\) bilan ketma-ketlikning faqat bir qismini ko'rib chiqaylik va keling, nol \(n > 5\) bilan ketma-ketlik shartlari uchun yuqori chegara emas deb faraz qilaylik. Shuni ham yodda tutaylikki, biz \(n > 5\) uchun ketma-ketlik ortib borayotganini allaqachon aniqlagan edik (har bir keyingi atama () dan katta bo'lishi kerakligini anglatadii.e. yuqorida) oldingi ...).
Shunday qilib, agar nol yuqori chegara bo'lmasa (\(n > 5\) uchun), biz bilamizki, biror joyda \(n > 5\) noldan yuqori (yoki undan katta) bo'lgan ketma-ketlik shartlari bo'lishi kerak. Shunday qilib, biz atamalar nolga yaqinlashib borishi kerakligini bilamiz va endi biz noldan yuqori atamalar bor deb taxmin qildik. Shuning uchun atamalar nol chegarasiga yaqinlashishning yagona yo'li \(n > 5\) bilan kamida bir nechta ketma-ketlik shartlarining nolga kamayishi (esda tutingki, biz bundan yuqori atamalar bor deb taxmin qilgan edik!). Biroq, bu sodir bo'lishi mumkin emas, chunki biz \(n > 5\) uchun ketma-ketlik ortib borayotganini bilamiz.
Xo'sh, bularning barchasi nima edi? Esda tutingki, biz \(n > 5\) uchun ketma-ketlikning ortib borayotgan tabiatiga nisbatan aniq qarama-qarshilikka birinchi navbatda nol \(n > 5\) bilan ketma-ketlikning qismi uchun yuqori chegara emas deb faraz qilgandik. Ushbu taxminni amalga oshirish bizni haqiqat bo'lishi mumkin bo'lmagan narsaga olib keldi, bu o'z navbatida \(n > 5\) bilan ketma-ketlikning qismi uchun nol aslida yuqori chegara bo'lishi kerakligini anglatadi, chunki biz ketma-ketlik shartlari bu qiymatdan oshib ketolmasligini ko'rsatdik!
E'tibor bering, biz hali ketma-ketlikning yuqori chegarasida nolni ko'rsatmadik va aslida u yuqori chegara bo'lmasligi mumkin. Biroq, biz ko'rsatgan narsa, bu ketma-ketlikning katta qismi uchun yuqori chegara, i.e. \(n > 5\) bilan ketma-ketlikning qismi uchun.
Ushbu muammoning yuqori chegarasini tugatish uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa ketma-ketlikning birinchi bir necha shartlari nima qilayotganini tekshirish. Buning uchun bir necha usullar mavjud. Ulardan biri, ketma-ketlikning qolgan boshlang'ich shartlarini hisoblash, ularning noldan yuqori yoki past ekanligini ko'rishdir. Bu ketma-ketlik uchun bu juda yomon emas, chunki atigi 4 ta atama (\(n = 2,3,4,5\)). Biroq, agar bir necha yuzlab atamalar unchalik oson bo'lmagan bo'lsa, keling, bu holda har doim ham oson bo'ladigan boshqa yondashuvni ko'rib chiqaylik, chunki bizda ketma-ketlikning ushbu boshlang'ich qismi uchun oshirish/kamayish haqida ma'lumotlar mavjud.
Shuni ta'kidlash kerakki, ushbu ketma-ketlikning birinchi qismida biz ketma-ketlik pasayib borayotganini allaqachon ko'rsatdik. Shunday qilib, \( - \frac{2}{{29}}\) ning birinchi ketma-ketlik muddati (i.e. \(n = 2\) ketma-ketlik atamasi) ketma-ketlikning kamayib borayotgan bu boshlang'ich biti uchun eng katta atama bo'ladi. Bu atama aniq noldan kichik va shuning uchun ham nol ketma-ketlikning dastlabki kamayuvchi qismidagi qolgan barcha shartlardan katta bo'ladi va shuning uchun ketma-ketlik shunday bo'ladi. yuqorida chegaralangan nolga.
Nihoyat, bu ketma-ketlik yuqorida ham, pastda ham chegaralanganligi sababli chegaralangan.
Ushbu muammoni hal qilishdan oldin, bir nechta tez so'zlarni ogohlantirish.
Birinchidan, ketma-ketlikning chegarasi ketma-ketlik uchun chegara (yuqori yoki pastki) bo'lishi kafolatlanmaydi, shuning uchun har doim chegara ketma-ketlik uchun yuqori/pastki chegara deb o'ylamaslikdan ehtiyot bo'ling.
Ikkinchidan, bu muammo ketma-ketlikning chegaralarini aniqlash ba'zan juda ko'p mehnat va ketma-ketlikning boshqa xatti-harakatlari haqida juda ko'p turli xil bilimlarni o'z ichiga olgan juda murakkab jarayon bo'lishi mumkinligini ko'rsatdi.