10.2-bo'lim : Ketma-ketliklar haqida ko'proq
5. Quyidagi ketma-ketlikning ortib borayotgan, kamayuvchi, monoton emas, pastdan chegaralangan, yuqorida chegaralangan va/yoki chegaralanganligini aniqlang.
\[\left\{ {\frac{{4 - n}}{{2n + 3}}} \right\}_{n = 1}^\infty \]Yechim
Ushbu muammoni hal qilish uchun avval ortib borayotgan/kamayuvchi ma'lumotni olamiz.
Ushbu bo'limdagi 1-3-muammolar uchun agar biz \(n\) ni ko'paytirsak nima bo'lishini so'rash oson edi, bu muammo bo'yicha o'sish/kamayish ma'lumotlarini aniqlash uchun. Biroq, bu holda, \(n\) ni ko'paytirish surat va maxrajni oshiradi va shuning uchun bu erda tahlil qilish biroz qiyinroq bo'ladi.
Shuning uchun biz ko'paytirish/kamayish ma'lumotlarini aniqlash uchun ba'zi bir tezkor Hisob I ga murojaat qilamiz. Quyidagi funksiyani aniqlab, uning hosilasini olishimiz mumkin.
\[f\left( x \right) = \frac{{4 - x}}{{2x + 3}}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}f'\left( x \right) = \frac{{ - 11}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}\]Biz aniq ko'rishimiz mumkinki, hosila \(x \ne - \frac{3}{2}\) uchun har doim manfiy bo'ladi va shuning uchun funktsiya \(x \ne - \frac{3}{2}\) uchun kamayadi. Shuning uchun, \(x\) butun son bo'lganda funktsiya qiymatlari ketma-ketlik qiymatlari bilan bir xil bo'lganligi sababli, \(n = 1\) da boshlanadigan ketma-ketlik ham shunday bo'lishi kerakligini ko'rishimiz mumkin. kamaymoqda va shuning uchun ham shunday monotonik.
2-qadam
Keling, qanday cheklangan ma'lumotlarni olishimiz mumkinligini ko'rib chiqaylik.
Birinchidan, ketma-ketlik kamayib borayotganligi sababli biz ketma-ketlikning birinchi hadi eng katta bo'lishini va shuning uchun ham ketma-ketlikning yuqori chegarasi bo'lishini ko'rishimiz mumkin. Shunday qilib, ketma-ketlik yuqorida chegaralangan by \(\frac{3}{5}\) (i.e. \(n = 1\) ketma-ketlik muddati).
Keyin pastki chegarani qidiramiz (agar u mavjud bo'lsa). Ushbu muammo uchun keling, avval ketma-ketlik shartlari chegarasini tez ko'rib chiqaylik. Bu holda ketma-ketlik shartlari chegarasi:
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{4 - n}}{{2n + 3}} = - \frac{1}{2}\]Ushbu chegara bizning ketma-ketlik shartlarimizning xatti-harakati haqida nima deyishini eslang. Cheklov \(n \to \infty \) sifatida ketma-ketlik shartlari \( - \frac{1}{2}\) ga tobora yaqinlashib borishi kerakligini anglatadi.
Keling, bir lahzaga, bu \( - \frac{1}{2}\) ketma-ketlik shartlari uchun pastki chegara emas deb faraz qilaylik va biz ketma-ketlikning kamayib borayotganini allaqachon aniqlaganimizni yodda tutaylik (har bir keyingi atama () dan kichik bo'lishi kerak degan ma'noni anglatadi.i.e. quyida) oldingi ...).
Shunday qilib, agar \( - \frac{1}{2}\) pastki chegara bo'lmasa, biz bilamizki, biror joyda \( - \frac{1}{2}\) ostida (yoki undan kichikroq) ketma-ketlik shartlari bo'lishi kerak. Biroq, biz atamalar \( - \frac{1}{2}\) ga tobora yaqinlashib borishi kerakligini bilganimiz sababli va biz \( - \frac{1}{2}\) dan pastda atamalar bor deb taxmin qildik, buning uchun yagona yo'l - \( - \frac{1}{2}\) tomon ko'tarilishi uchun kamida bir necha ketma-ketlik shartlari (esda tutingki, biz bundan pastda atamalar bor deb taxmin qilgan edik!). Biroq, bu sodir bo'lishi mumkin emas, chunki biz ketma-ketlikning kamayuvchi ketma-ketlik ekanligini bilamiz.
Xo'sh, bularning barchasi nima edi? Esda tutingki, biz ketma-ketlikning kamayish xususiyatiga nisbatan aniq qarama-qarshilikka birinchi navbatda \( - \frac{1}{2}\) pastki chegara emas deb taxmin qilgan holda keldik. Ushbu taxmin bizni haqiqat bo'lishi mumkin bo'lmagan narsaga olib keldi, bu o'z navbatida \( - \frac{1}{2}\) aslida pastki chegara bo'lishi kerakligini anglatadi, chunki biz ketma-ketlik shartlari bu qiymatdan pastga tusha olmasligini ko'rsatdik!
Shunday qilib, ketma-ketlik quyida chegaralangan by \( - \frac{1}{2}\).
Nihoyat, bu ketma-ketlik yuqorida ham, pastda ham chegaralanganligi sababli chegaralangan.
Ushbu muammoni hal qilishdan oldin, tezda ogohlantirish. Ketma-ketlik chegarasi ketma-ketlik uchun chegara (yuqori yoki pastki) bo'lishi kafolatlanmaydi. Bu faqat ma'lum sharoitlarda chegara bo'ladi va shuning uchun biz chegarani oddiygina hisoblay olmaymiz va u har bir ketma-ketlik uchun chegara bo'ladi deb taxmin qila olmaymiz! Chegaraning chegaralanishiga imkon beradigan shartni ko'ra olasizmi?