10.2-bo'lim : Ketma-ketliklar haqida ko'proq
4. Quyidagi ketma-ketlikning ortib borayotgan, kamayuvchi, monoton emas, pastdan chegaralangan, yuqorida chegaralangan va/yoki chegaralanganligini aniqlang.
\[\left\{ {\frac{{2{n^2} - 1}}{n}} \right\}_{n = 2}^\infty \]Yechim
Ushbu muammoni hal qilish uchun avval ortib borayotgan/kamayuvchi ma'lumotni olamiz.
Ushbu bo'limdagi 1-3-muammolar uchun agar biz \(n\) ni ko'paytirsak nima bo'lishini so'rash oson edi, bu muammo bo'yicha o'sish/kamayish ma'lumotlarini aniqlash uchun. Biroq, bu holda, \(n\) ni ko'paytirish surat va maxrajni oshiradi va shuning uchun bu erda tahlil qilish biroz qiyinroq bo'ladi.
Shuning uchun biz ko'paytirish/kamayish ma'lumotlarini aniqlash uchun ba'zi bir tezkor Hisob I ga murojaat qilamiz. Quyidagi funksiyani aniqlab, uning hosilasini olishimiz mumkin.
\[f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 1}}{x}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}f'\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 1}}{{{x^2}}}\]Biz aniq ko'ramizki, hosila \(x \ne 0\) uchun har doim ijobiy bo'ladi va shuning uchun funktsiya \(x \ne 0\) uchun ortib bormoqda. Shuning uchun, \(x\) butun son bo'lganda funktsiya qiymatlari ketma-ketlik qiymatlari bilan bir xil bo'lganligi sababli, \(n = 2\) da boshlanadigan ketma-ketlik ham shunday bo'lishi kerakligini ko'rishimiz mumkin. ortib boradi va shuning uchun ham shunday monotonik.
2-qadam
Keling, qanday cheklangan ma'lumotlarni olishimiz mumkinligini ko'rib chiqaylik.
Birinchidan, umid qilamanki, barcha shartlar bizning \(n \ge 2\) diapazonimiz uchun ijobiydir va shuning uchun ketma-ketlik pastdan nol bilan chegaralangan. Biz ketma-ketlikning ortib borayotganidan ham foydalanishimiz mumkin, birinchi atama ketma-ketlikdagi eng kichik atama bo'lishi kerak va shuning uchun yaxshiroq pastki chegara \(\frac{7}{2}\) bo'lgan birinchi ketma-ketlik atamasi bo'ladi. Ikkalasi ham bu muammo uchun ishlaydi.
Keling, yuqori chegara haqida nimani aniqlashimiz mumkinligini ko'rib chiqaylik (agar u albatta mavjud bo'lsa ...).
Funktsiya ortib borayotganini bilamiz, lekin bu yuqori chegara yo'q degani emas. Yuqoridagi 1 va 3-muammolarni ko'rib chiqing. Ularning har biri kamayuvchi ketma-ketliklar edi, lekin ular pastki chegaraga ega edi. O'sib borayotgan ketma-ketlikning yuqori chegarasi bo'lmaydi yoki kamayib borayotgan ketma-ketlikning pastki chegarasi bo'lmaydi, deb xato qilmang. Ba'zan ular bo'ladi, ba'zan esa yo'q.
Ushbu ketma-ketlik uchun biz har qanday potentsial yuqori chegaraga oldingi muammolardan bir oz boshqacha yondashishimiz kerak. Avval shartlarning quyidagi chegarasini hisoblaymiz,
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{2{n^2} - 1}}{n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {2n - \frac{1}{n}} \right) = \infty \]Shartlar chegarasi cheksiz bo'lganligi sababli, atamalar chegaralanmagan holda ortib borishini ko'rishimiz mumkin. Shuning uchun, bu holda, albatta, bor yuqori chegarasi yo'q bu ketma-ketlik uchun. Iltimos, yuqoridagi ogohlantirishni unutmang! Bu ortib borayotgan ketma-ketlikning yuqori chegarasi bo'lmagani, har bir ortib borayotgan ketma-ketlikning yuqori chegarasi bo'lmaydi degani emas.
Nihoyat, chunki bu ketma-ketlik quyida chegaralangan, lekin ketma-ketlik ustida chegaralanmagan chegaralanmagan.