10.2-bo'lim : Ketma-ketliklar haqida ko'proq
3. Quyidagi ketma-ketlik monotonik emas, ortib borayotgan, kamayuvchi, pastdan chegaralangan, yuqorida chegaralangan va/yoki chegaralanganligini aniqlang.
\[\left\{ {{3^{ - \,n}}} \right\}_{n = 0}^\infty \]Yechim
Ushbu muammoni hal qilish uchun keling, birinchi navbatda ortib borayotgan/kamayuvchi ma'lumotni olamiz, chunki bu juda oddiy ko'rinadi va hech bo'lmaganda cheklangan ma'lumotlarga yordam beradi.
Biz hammamiz rozimiz, bizning \(n \ge 0\) diapazoni uchun bizda:
\[n < n + 1\]Bu o'z navbatida beradi,
\[{3^{ - n}} = \frac{1}{{{3^n}}} > \frac{1}{{{3^{n + 1}}}} = {3^{ - \left( {n + 1} \right)}}\]Shunday qilib, agar biz \({a_n} = {3^{ - n}}\)-ni aniqlasak, bizda barcha \(n \ge 0\) uchun \({a_n} > {a_{n + 1}}\) bor va shuning uchun ketma-ketlik shunday bo'ladi. kamaymoqda va shuning uchun ham monotonik.
2-qadam
Keling, qanday cheklangan ma'lumotlarni olishimiz mumkinligini ko'rib chiqaylik.
Birinchidan, umid qilamanki, barcha shartlar ijobiy va ketma-ketlik ham shunday pastdan nol bilan chegaralangan.
Keyinchalik, biz birinchi bosqichda ketma-ketlikning kamayib borayotganini ko'rdik va shuning uchun birinchi atama eng katta atama bo'ladi va shuning uchun ketma-ketlik shunday bo'ladi. bilan yuqorida chegaralangan \({3^{ - \left( 0 \right)}} = 1\) (i.e. \(n = 0\) ketma-ketlik muddati).
Shuning uchun, bu ketma-ketlik quyida chegaralangan va yuqorida chegaralanganligi sababli chegaralangan.