10.2-bo'lim : Ketma-ketliklar haqida ko'proq
1. Quyidagi ketma-ketlik monotonik emas, ortib boruvchi, kamayuvchi, pastdan chegaralangan, yuqorida chegaralangan va/yoki chegaralanganligini aniqlang.
\[\left\{ {\frac{1}{{4n}}} \right\}_{n = 1}^\infty \]Yechim
Ushbu muammoni hal qilish uchun avval chegaralangan ma'lumotni olaylik, chunki bu juda oddiy ko'rinadi.
Birinchidan, surat va maxraj ijobiy bo'lganligi sababli, bo'linma ham ijobiy bo'lganiga e'tibor bering, shuning uchun biz ketma-ketlik bo'lishi kerakligini ko'ramiz. pastdan nol bilan chegaralangan.
Keyin shuni ta'kidlaymizki, biz \(n = 1\) bilan boshlayotganimiz sababli, maxraj har doim \(4n \ge 4 > 1\) bo'ladi va shuning uchun biz ketma-ketlik shunday bo'lishi kerakligini ham ko'rishimiz mumkin. yuqorida bitta bilan chegaralangan. E'tibor bering, bu holda, bu ketma-ketlikning "eng yaxshi" yuqori chegarasi emas, lekin muammo buni talab qilmadi. Ushbu ketma-ketlik uchun biz ortib borayotgan/kamayuvchi ma'lumotlarga ega bo'lganimizdan keyin yaxshiroqsini olishimiz mumkin.
Chunki ketma-ketlik yuqorida chegaralangan va ketma-ketlik ostida ham chegaralangan chegaralangan.
2-qadam
Ma'lumotni oshirish/kamaytirish uchun biz \(n \ge 1\) diapazoni uchun bizda borligini ko'rishimiz mumkin:
\[4n < 4\left( {n + 1} \right)\]va shuning uchun,
\[\frac{1}{{4n}} > \frac{1}{{4\left( {n + 1} \right)}}\]Agar biz \({a_n} = \frac{1}{{4n}}\) ni aniqlasak, bu o'z navbatida barcha \(n \ge 1\) uchun \({a_n} > {a_{n + 1}}\) ekanligini aytadi va shuning uchun ketma-ketlik shunday bo'ladi. kamaymoqda va shuning uchun monotonik.
E'tibor bering, biz hozir ketma-ketlik pasayib borayotganini aniqlaganimiz sababli, "eng yaxshi" yuqori chegara ketma-ketlikning birinchi hadi yoki \(\frac{1}{4}\) bo'lishini ko'rishimiz mumkin.