Seriya shartlari,

\[{a_n} = \frac{3}{{{n^2} - 3n + 2}}\]

Biz aniq ko'ramizki, \(n \ge 3\) uchun (bu bizning seriyamiz uchun \(n\) diapazoniga mos keladi) bizda,

\[{n^2} \ge 3n\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{n^2} - 3n \ge 0\hspace{0.25in}\,\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,{n^2} - 3n + 2 \ge {n^2} - 3n \ge 0\]

Shuning uchun ketma-ket shartlar ijobiy va shuning uchun bu shart bajariladi.

E'tibor bering, ba'zida biz seriyali shartlar tekshirish orqali ijobiy ekanligini aytishdan ko'ra ko'proq narsani qilishimiz va shartlar haqiqatan ham ijobiy ekanligini ko'rsatish uchun ozgina ish qilishimiz kerak!

Bunday holda, biz pasayish holatini tekshirish bilan biroz ehtiyot bo'lishimiz kerak. Ushbu bo'limdagi birinchi ikkita muammoda qilganimizdek, biz \(n\) + 1 ni seriyali atamaga ulay olmaymiz.

Shunday qilib, maxrajdagi birinchi atama kattalashib, ketma-ket atamaning kamayib borayotganini ko'rsatadi. Biroq, agar biz \(n\) ni ko'paytirsak, maxrajdagi ikkinchi had ayiriladi, bu esa maxrajning kichrayib borayotganini va shuning uchun qator termini ortib borayotganini ko'rsatadi.

Bizning "raqobatdosh" manfaatlarimiz borligi sababli, biz tez hisoblash I ko'paytirish/kamaytirish tahlilini qilishimiz kerak. Bu yerda qator hadlari uchun funksiya va uning hosilasi.

\[f\left( x \right) = \frac{3}{{{x^2} - 3x + 2}}\hspace{0.5in}f'\left( x \right) = \frac{{9 - 6x}}{{{{\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)}^2}}}\]

Tezkor raqamlar chizig'i yoki belgilar diagrammasi yordamida biz \(x < \frac{3}{2}\) uchun funktsiya ortib, \(x > \frac{3}{2}\) uchun pasayishini ko'rishimiz mumkin. Funktsiya va qator atamalar bir xil bo'lgani uchun biz bilamizki, ketma-ket atamalar bir xil o'sish/kamayuvchi xatti-harakatlarga ega bo'ladi.

Demak, ushbu tahlildan ko'rishimiz mumkinki, seriyamizdagi \(n\) diapazoni uchun ketma-ket atamalar doimo kamayib boradi va shuning uchun bu shart ham bajariladi.

OK, endi bilamizki, Integral testdan foydalanishimiz uchun talab qilinadigan ikkala shart ham tasdiqlangan, biz Integral testni davom ettirishimiz mumkin.

Sinovni amalda qo'llashdan oldin har doim ma'lum bir seriyali test shartlarini tekshirish juda muhimdir. Ko'pgina talabalar ketma-ket test bilan yo'l qo'yadigan eng katta xatolardan biri bu test shartlariga javob bermaydigan seriyadagi testdan foydalanish va shu sababli noto'g'ri javob olishdir!

Endi test uchun integralni hisoblaylik. Biz hisoblashimiz kerak bo'lgan integral,

\[\int_{3}^{\infty }{{\frac{3}{{{x^2} - 3x + 2}}\,dx}}\]

Biroq, bu integral baholashni amalga oshirish uchun bizdan tez qisman kasrlarni bajarishimizni talab qiladi. Mana bu tezkor ish.

\[\frac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{A}{{x - 1}} + \frac{B}{{x - 2}}\hspace{0.5in} \to \hspace{0.5in}3 = A\left( {x - 2} \right) + B\left( {x - 1} \right)\] \[\begin{array}{l}{x = 1} \hspace{0.5in} {3 = - A}\\{x = 2} \hspace{0.5in} {3 = B}\end{array}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\begin{array}{l}{A = - 3}\\{B = 3}\end{array}\]

U holda integral,

\[\begin{align*}\int_{3}^{\infty }{{\frac{3}{{x - 2}} - \frac{3}{{x - 1}}\,dx}} & = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \int_{3}^{t}{{\frac{3}{{x - 2}} - \frac{3}{{x - 1}}\,dx}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left. {\left( {3\ln \left| {x - 2} \right| - 3\ln \left| {x - 1} \right|} \right)} \right|_3^t\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left[ {3\ln \left| {t - 2} \right| - 3\ln \left| {t - 1} \right| - \left( {3\ln \left| 1 \right| - 3\ln \left| 2 \right|} \right)} \right]\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left[ {3\ln \left| {\frac{{t - 2}}{{t - 1}}} \right| + 3\ln \left| 2 \right|} \right] = 3\ln \left( {\frac{1}{1}} \right) + 3\ln \left( 2 \right) = 3\ln \left( 2 \right)\end{align*}\]

Birinchi ikki muddat chegarasidan ehtiyot bo'ling! Limitni to'g'ri hisoblash uchun ularni ko'rsatilganidek logarifm xususiyatlaridan foydalangan holda birlashtirish kerak va biz limitni hisoblash uchun log argumentida L'Hospital qoidasini bajarishimiz mumkin.

Xo'sh, oxirgi bosqichdagi integral konvergent integraldir va shuning uchun Integral testda qator ham bo'lishi kerak. konvergent seriya.