10.6-bo'lim : Integral test
4. Quyidagi qatorlar yaqinlashadimi yoki uzoqlashadimi, aniqlang.
\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{n^2}}}{{{n^3} + 1}}} \]Yechim
Xo'sh, ushbu seriyada Integral testdan foydalanishdan oldin biz Integral testdan foydalanishimiz mumkinligini tekshirishimiz kerak!
2-qadam
Seriya shartlari,
\[{a_n} = \frac{{{n^2}}}{{{n^3} + 1}}\]Seriyadagi \(n\) diapazoni uchun shartlar ijobiy va shuning uchun shart bajarilganligini aniq ko'rishimiz mumkin.
3-qadam
Bunday holda, biz pasayish holatini tekshirish bilan biroz ehtiyot bo'lishimiz kerak. Ushbu bo'limdagi birinchi ikkita muammoda qilganimizdek, biz \(n\) + 1 ni seriyali atamaga ulay olmaymiz. Shunday qilib, surat ham, maxraj ham ko'payishini anglatadi va shuning uchun shartlar kamayishi aniq emas.
Shuning uchun biz tez hisob-kitob I oshirish/kamaytirish tahlilini qilishimiz kerak. Bu yerda qator hadlari uchun funksiya va uning hosilasi.
\[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{x^3} + 1}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}f'\left( x \right) = \frac{{2x - {x^4}}}{{{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{x\left( {2 - {x^3}} \right)}}{{{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^2}}}\]Tezkor raqamlar chizig'i yoki belgilar diagrammasi yordamida biz \(0 < x < \sqrt[3]{2} = 1.2599\) uchun funktsiya ortib, \(\sqrt[3]{2} = 1.2599 < x < \infty \) uchun pasayishini ko'rishimiz mumkin. Funktsiya va qator atamalar bir xil bo'lgani uchun biz bilamizki, ketma-ket atamalar bir xil o'sish/kamayuvchi xatti-harakatlarga ega bo'ladi.
Shunday qilib, ushbu tahlildan biz \(n > \sqrt[3]{2}\) uchun ketma-ket atamalar har doim ham kamaymasligini, balki kamayib borishini ko'rishimiz mumkin, bu biz ushbu shartning ham bajarilganligini aytishimiz uchun etarli.
OK, endi bilamizki, Integral testdan foydalanishimiz uchun talab qilinadigan ikkala shart ham tasdiqlangan, biz Integral testni davom ettirishimiz mumkin.
Sinovni amalda qo'llashdan oldin har doim ma'lum bir seriyali test shartlarini tekshirish juda muhimdir. Ko'pgina talabalar ketma-ket test bilan yo'l qo'yadigan eng katta xatolardan biri bu test shartlariga javob bermaydigan seriyadagi testdan foydalanish va shu sababli noto'g'ri javob olishdir!
4-qadam
Endi test uchun integralni hisoblaylik.
\[\int_{0}^{\infty }{{\frac{{{x^2}}}{{{x^3} + 1}}\,dx}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \int_{0}^{t}{{\frac{{{x^2}}}{{{x^3} + 1}}\,dx}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left. {\left( {\frac{1}{3}\ln \left| {{x^3} + 1} \right|} \right)} \right|_0^t = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {\frac{1}{3}\ln \left| {{t^3} + 1} \right| - \frac{1}{3}\ln \left( 1 \right)} \right) = \infty \]5-qadam
Xo'sh, oxirgi bosqichdagi integral divergent integraldir va shuning uchun Integral testda qator ham bo'lishi kerak. turlicha seriya.