10.13-bo'lim : Seriyaning qiymatini baholash
4. \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{3^{1 + n}}}}{{n\,{2^{3 + 2n}}}}} \) qiymatini baholash uchun nisbat testi va \(n = 8\) dan foydalaning.
Yechim
Birinchidan, shartlar ijobiy ekanligiga e'tibor bering, shuning uchun biz taxmin qilish uchun nisbat testidan foydalanishimiz mumkin. Esda tutingki, bu faqat seriya qiymatini baholash uchun nisbat testidan foydalanish talabi va qator yaqinlashishi yoki uzoqlashishini aniqlash uchun nisbat testidan foydalanishning haqiqiy talabi emas.
Shunday qilib, keling, \(n = 8\) yordamida qisman yig'indidan boshlaylik. Bu,
\[{s_8} = \sum\limits_{n = 1}^8 {\frac{{{3^{1 + n}}}}{{n\,{2^{3 + 2n}}}}} = 0.509881435\]2-qadam
Endi qolgan qiymatning yuqori chegarasini olish uchun (i.e. taxminiy va aniq qiymat o'rtasidagi xato) bizga quyidagi nisbat kerak,
\[{r_n} = \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \frac{{{3^{2 + n}}}}{{\left( {n + 1} \right)\,{2^{5 + 2n}}}}\frac{{n\,{2^{3 + 2n}}}}{{{3^{1 + n}}}} = \frac{{3n}}{{4\left( {n + 1} \right)}}\]Bizga ham chegara kerak bo'ladi,
\[L = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{3n}}{{4\left( {n + 1} \right)}} = \frac{3}{4}\]3-qadam
Keyinchalik, \({r_n}\) ortib borayotgan yoki kamayuvchi ketma-ketlikni tashkil qiladimi yoki yo'qligini bilishimiz kerak. Hisoblashning tezkor qo'llanilishi men bunga javob beraman.
\[f\left( x \right) = \frac{{3x}}{{4\left( {x + 1} \right)}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}f'\left( x \right) = \frac{3}{{4{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\]Yuqorida ta'kidlanganidek, hosila har doim ijobiy va shuning uchun funktsiya, shuning uchun \({r_n}\) ortib bormoqda.
4-qadam
Qolganlarning yuqori chegarasi shunday bo'ladi:
\[{R_8} \le \frac{{{a_9}}}{{1 - L}} = \frac{{\frac{{6561}}{{2,097,152}}}}{{1 - \frac{3}{4}}} = 0.012514114\]5-qadam
Shunday qilib, biz seriyaning qiymatini taxmin qilishimiz mumkin,
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{s \approx 0.509881435}}\]va bu taxmindagi xato 0,012514114 dan oshmaydi.