10.13-bo'lim : Seriyaning qiymatini baholash
3. \(\displaystyle \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}n}}{{{n^2} + 1}}} \) qiymatini baholash uchun alternativ seriyali test va \(n = 16\) dan foydalaning.
Yechim
Bizdan ketma-ketlik qiymatini baholash uchun muqobil seriyali testdan foydalanishimiz so'ralganligi sababli, avvalo, alternativ seriyali testdan ushbu seriyada foydalanish mumkinligiga ishonch hosil qilishimiz kerak.
Birinchidan, ushbu seriya uchun \({b_n}\) ekanligini unutmang,
\[b_n = \frac{n}{{{n^2} + 1}}\]va ular ijobiy va tez hosila bilan biz ularning kamayib borayotganini ko'rishimiz mumkin va shuning uchun bu erda alternativ seriyali testdan foydalanish mumkin.
Muammoni hal qilishdan oldin ushbu shartlarni sinab ko'rish juda muhimligini unutmang. Agar testni seriyada ishlatib bo'lmasa, seriyaning qiymatini baholash uchun testdan foydalanish mantiqiy emas. Bu erda bizdan testdan foydalanishni so'rashganligi sababli, test haqiqatdan ham ishlatilishi mumkin deb o'ylamasligimiz kerak!
2-qadam
Keling, \(n = 16\) yordamida qisman yig'indidan boshlaylik. Bu,
\[{s_{16}} = \sum\limits_{n = 2}^{16} {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}n}}{{{n^2} + 1}}} = 0.260554530\]3-qadam
Endi biz eslatmalardagi muhokamadan bilamizki, qolganning mutlaq qiymatining yuqori chegarasi (i.e. taxminiy va aniq qiymat o'rtasidagi xato) boshqa narsa emas,
\[{b_{17}} = \frac{{17}}{{290}} = 0.058620690\]4-qadam
Shunday qilib, biz seriyaning qiymatini taxmin qilishimiz mumkin,
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{s \approx 0.260554530}}\]va bu taxmindagi xato 0,058620690 dan oshmaydi.