10.4-bo'lim : Seriyalarning konvergentsiyasi/divergentsiyasi
6. Quyidagi qator divergent ekanligini ko‘rsating.
\[\sum\limits_{n = 5}^\infty {\frac{{6 + 8n + 9{n^2}}}{{3 + 2n + {n^2}}}} \]Yechim
Avval shuni ta'kidlab o'tamizki, bizdan seriyalar turlicha ekanligini ko'rsatishni so'rashmoqda. Bizdan aniqlashni talab qilishmaydi agar qator farqlanadi. Hozirgi vaqtda biz buni haqiqatda ko'rsatishning faqat ikkita usulini bilamiz.
Birinchi variant - qisman yig'indilar ketma-ketligi chegarasi mavjud emas yoki cheksiz ekanligini ko'rsatish. Ushbu yondashuv bilan bog'liq muammo shundaki, ko'plab seriyalar uchun \(n\) uchun umumiy formulani aniqlaydith qisman summalar ketma-ketligi muddati juda qiyin, agar to'g'ridan-to'g'ri bajarish mumkin emas. Bu ushbu seriya uchun to'g'ri va shuning uchun bu muammo uchun haqiqatan ham mos variant emas.
Yaxshiyamki, biz uchun seriyaning farqli ekanligini ko'rsatishning osonroq varianti mavjud. Biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa - Divergensiya testidan foydalanish.
Seriya shartlarining chegarasi,
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{6 + 8n + 9{n^2}}}{{3 + 2n + {n^2}}} = 9 \ne 0\]Seriya shartlarining chegarasi nolga teng emas va shuning uchun Divergensiya testi orqali biz ushbu muammodagi qator ekanligini bilamiz. turlicha.