10.4-bo'lim : Seriyalarning konvergentsiyasi/divergentsiyasi
3. \(n\) deb faraz qilaylikth \(\displaystyle \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}} \) seriyasi uchun qisman yig'indilar ketma-ketligida atama quyida keltirilgan. \(\displaystyle \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}} \) seriyasining konvergent yoki divergentligini aniqlang. Agar qator konvergent bo'lsa, qatorning qiymatini aniqlang.
\[{s_n} = \frac{{5 + 8{n^2}}}{{2 - 7{n^2}}}\]Yechim
Bu erda eslashdan boshqa ko'p narsa qilishimiz kerak emas,
\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {s_n}\]Shunday qilib, ketma-ketlik yaqinlashishi yoki uzoqlashishini aniqlash uchun biz faqat qisman yig'indilar ketma-ketligi chegarasini hisoblashimiz kerak. Qisman summalar ketma-ketligi chegarasi,
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {s_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{5 + 8{n^2}}}{{2 - 7{n^2}}} = - \frac{8}{7}\]Endi biz bu chegara mavjudligini va chekli ekanligini ko'rishimiz mumkin (i.e. ortiqcha/minus cheksizlik emas). Shunday qilib, biz endi bilamizki, \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}} \) seriyasi, birlashadi va uning qiymati,
\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}} = - \frac{8}{7}\]Agar siz cheksizlik chegaralari bilan tanish bo'lmasangiz, unda siz haqiqatan ham Hisob I materialiga qaytishingiz va cheksizlikdagi chegaralar va L'Hospital qoidasini qayta ko'rib chiqishingiz kerak, chunki biz keyingi bir necha bo'limda bunday limitlarni o'chirib qo'yamiz.