10.8-bo'lim : Muqobil seriyali test
5. Quyidagi qatorlar yaqinlashadimi yoki ayiriladimi, aniqlang.
\[\sum\limits_{n = 4}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 2}}\left( {1 - n} \right)}}{{3n - {n^2}}}} \]Yechim
Birinchidan, bu (umid qilamanki) aniq o'zgaruvchan seriya,
\[{b_n} = \frac{{1 - n}}{{3n - {n^2}}}\]va \({b_n}\) \(n \ge 4\) uchun ijobiy va shuning uchun biz ushbu seriyada alternativ seriyali testdan foydalanishimiz mumkinligini bilamiz.
Sinovni amalda qo'llashdan oldin har doim ma'lum bir seriyali test shartlarini tekshirish juda muhimdir. Ko'pgina talabalar ketma-ket test bilan yo'l qo'yadigan eng katta xatolardan biri bu test shartlariga javob bermaydigan seriyadagi testdan foydalanish va shu sababli noto'g'ri javob olishdir!
2-qadam
Keling, avval chegarani ko'rib chiqaylik,
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{1 - n}}{{3n - {n^2}}} = 0\]Shunday qilib, chegara nolga teng va shuning uchun birinchi shart bajariladi.
3-qadam
Endi kamayib borayotgan chek haqida qayg'uraylik. Bu holda \(n\) ni ko'paytirish suratni ham, maxrajni ham oshiradi va shuning uchun biz birinchi bir nechta masalalarda bo'lgani kabi atamalar kamayib borayotganini aniq ayta olmaymiz.
Bu muammo uchun men ishlayotgan bir oz hisob-kitob qilishdan boshqa ilojimiz yo'q. Mana bu ish uchun funktsiya va hosila.
\[f\left( x \right) = \frac{{1 - x}}{{3x - {x^2}}}\hspace{0.5in}f'\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {3x - {x^2}} \right)}^2}}}\]Hosilaning numeratori har qanday haqiqiy son uchun hech qachon nolga teng bo'lmaydi (buni tekshirishni sizga qoldiramiz) va \(x = 0\) da aniq manfiy bo'lgani uchun biz \(x \ge 4\) uchun funktsiya har doim kamayib borishini bilamiz.
Shuning uchun \({b_n}\) kamayuvchi ketma-ketlikni hosil qiladi.
4-qadam
Shunday qilib, muqobil seriyalar testidagi ikkala shart ham bajarilgan va seriya ham shunday konvergent.