10.8-bo'lim : Muqobil seriyali test
4. Quyidagi qatorlar yaqinlashadimi yoki uzoqlashadimi, aniqlang.
\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 6}}n}}{{{n^2} + 9}}} \]Yechim
Birinchidan, bu (umid qilamanki) aniq o'zgaruvchan seriya,
\[{b_n} = \frac{n}{{{n^2} + 9}}\]va \({b_n}\) ijobiy ekanligi aniq va shuning uchun biz ushbu seriyada muqobil seriyali testdan foydalanishimiz mumkinligini bilamiz.
Sinovdan foydalanishdan oldin har doim ma'lum bir seriyali test shartlarini tekshirish juda muhimdir. Ko'pgina talabalar ketma-ket test bilan yo'l qo'yadigan eng katta xatolardan biri bu test shartlariga javob bermaydigan seriyadagi testdan foydalanish va shu sababli noto'g'ri javob olishdir!
2-qadam
Keling, avval chegarani ko'rib chiqaylik,
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{n}{{{n^2} + 9}} = 0\]Shunday qilib, chegara nolga teng va shuning uchun birinchi shart bajariladi.
3-qadam
Endi kamayib borayotgan chek haqida qayg'uraylik. Bu holda \(n\) ni ko'paytirish surat va maxrajni oshiradi va shuning uchun biz birinchi bir nechta masalalarda bo'lgani kabi atamalar kamayib borayotganini aniq ayta olmaymiz.
Bu muammo uchun men ishlayotgan bir oz hisob-kitob qilishdan boshqa ilojimiz yo'q. Mana bu ish uchun funktsiya va hosila.
\[f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} + 9}}\hspace{0.5in}f'\left( x \right) = \frac{{9 - {x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 9} \right)}^2}}}\]Funktsiya \(0 \le x < 3\)da ortib borishi va \(x > 3\)da kamayishi (bizning \(n\) diapazoniga mos keladigan \(x\) diapazoni) aniq bo'lishi kerak.
Shunday qilib, \({b_n}\) aslida kamayuvchi ketma-ketlikni hosil qilmaydi, lekin ular \(n > 3\) uchun kamayib bormoqda va shuning uchun ular oxir-oqibat kamayib bormoqda, deb aytishimiz mumkin va eslatmalarda muhokama qilinganidek, bu biz uchun etarli bo'ladi.
4-qadam
Shunday qilib, muqobil seriyalar testidagi ikkala shart ham bajarilgan va seriya ham shunday konvergent.