10.8-bo'lim : Muqobil seriyali test
1. Quyidagi qatorlar yaqinlashadimi yoki uzoqlashadimi, aniqlang.
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{7 + 2n}}} \]Yechim
Birinchidan, bu (umid qilamanki) aniq o'zgaruvchan seriya,
\[{b_n} = \frac{1}{{7 + 2n}}\]va \({b_n}\) ijobiy ekanligi aniq va shuning uchun biz ushbu seriyada muqobil seriyali testdan foydalanishimiz mumkinligini bilamiz.
Sinovni amalda qo'llashdan oldin har doim ma'lum bir seriyali test shartlarini tekshirish juda muhimdir. Ko'pgina talabalar ketma-ket test bilan yo'l qo'yadigan eng katta xatolardan biri bu test shartlariga javob bermaydigan seriyadagi testdan foydalanish va shu sababli noto'g'ri javob olishdir!
2-qadam
Keling, avval chegarani ko'rib chiqaylik,
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{7 + 2n}} = 0\]Shunday qilib, chegara nolga teng va shuning uchun birinchi shart bajariladi.
3-qadam
Endi kamayib borayotgan chek haqida qayg'uraylik. Bunday holda, aniq bo'lishi kerakki,
\[\frac{1}{{7 + 2n}} > \frac{1}{{7 + 2\left( {n + 1} \right)}}\]chunki \(n\) ni oshirish faqat maxrajni oshiradi va shuning uchun ratsional ifodani kichikroq bo'lishga majbur qiladi.
Shuning uchun \({b_n}\) kamayuvchi ketma-ketlikni hosil qiladi.
4-qadam
Shunday qilib, muqobil seriyalar testidagi ikkala shart ham bajarilgan va seriya ham shunday konvergent.