10.9-bo'lim : Mutlaq yaqinlashuv
2. Quyidagi qatorlar mutlaq yaqinlashuvchimi, shartli yaqinlashuvchimi yoki divergentligini aniqlang.
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 3}}}}{{\sqrt n }}} \]Yechim
Xo'sh, keling, seriyalar shartlariga mutlaq qiymat qo'ysak, birinchi navbatda ketma-ketlik yaqinlashadimi yoki yo'qmi, bilib olaylik.
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 3}}}}{{\sqrt n }}} \right|} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt n }}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^{\frac{1}{2}}}}}} \]Endi, \(p\)-seriyali test orqali biz ushbu seriyaning ajralib chiqishini ko'rishimiz mumkin.
2-qadam
Demak, bu nuqtada biz muammo bayonotidagi qatorlar mutlaqo yaqinlashmasligini bilamiz, shuning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa uning shartli yaqinlashishi yoki divergentligini tekshirishdir. Buni amalga oshirish uchun muammo bayonidagi qatorlarning yaqinlashuvini tekshirishimiz kifoya.
Muammo bayonotidagi ketma-ketlik quyidagi bilan muqobil qatordir:
\[{b_n} = \frac{1}{{\sqrt n }}\]Shubhasiz, \({b_n}\) ijobiy, shuning uchun biz ushbu seriyada muqobil seriyali testdan foydalanishimiz mumkin. Umid qilamanki, \({b_n}\) kamayuvchi ketma-ketlik va \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} = 0\).
Shuning uchun, muqobil seriyali test orqali muammo bayonotidagi qatorlar yaqinlashadi.
3-qadam
Shunday qilib, mutlaq qiymatga ega bo'lgan qatorlar ajralib chiqadi va muammo bayonotidagi qatorlar yaqinlashadi, chunki biz bilamizki, muammo bayonotidagi qator shartli konvergent.