5.3-bo'lim : Noaniq integrallarni almashtirish qoidasi
14. \( \displaystyle \int{{\frac{{\csc \left( x \right)\cot \left( x \right)}}{{2 - \csc \left( x \right)}}\,dx}}\) ni baholang.
Maslahat: Maxrajning hosilasi nima?
Yechim
Bunday holda, biz o'rnini bosuvchi sifatida quyidagilarni ishlatishimiz kerak.
\[u = 2 - \csc \left( x \right)\]
Maslahat: Esda tutingki, almashtirishdan so'ng integraldagi barcha asl o'zgaruvchilar \(u\) bilan almashtirilishi kerak.
2-qadam
Barcha \(x\)lar \(u\) bilan almashtirilganligiga ishonch hosil qilishimiz kerak, biz differentsialni hisoblashimiz kerak, shunda biz \(dx\) va qolgan \(x\)larni integranda yo‘q qilamiz.
\[du = \csc \left( x \right)\cot \left( x \right)dx\]Eslatib o'tamiz, ko'p hollarda almashtirishni amalga oshirishdan oldin biz differentsialni biroz manipulyatsiya qilishimiz kerak. Bunday holda, biz buni qilishimiz shart emas.
3-qadam
O'zgartirishni amalga oshirish va integralni baholash,
\[\int{{\frac{{\csc \left( x \right)\cot \left( x \right)}}{{2 - \csc \left( x \right)}}\,dx}} = \int{{\frac{1}{u}\,du}} = \ln \left| u \right| + c\]
Maslahat: Integranddagi asl o'zgaruvchi \(u\) emasligini unutmang!
4-qadam
Nihoyat, asl o'zgaruvchiga qaytishni unutmang!
\[\int{{\frac{{\csc \left( x \right)\cot \left( x \right)}}{{2 - \csc \left( x \right)}}\,dx}} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\ln \left| {2 - \csc \left( x \right)} \right| + c}}\]