Asosiy tarkibga o'tish

4.6-bo'lim : Grafik shakli, II qism

8. \(h\left( x \right) = {{\bf{e}}^{4 - {x^{\,2}}}}\) uchun quyidagi savollarning har biriga javob bering.

  1. Funktsiya uchun mumkin bo'lgan burilish nuqtalari ro'yxatini aniqlang.
  2. Funktsiya yuqoriga va pastga botiq bo'lgan intervallarni aniqlang.
  3. Funksiyaning burilish nuqtalarini aniqlang.
a Funktsiya uchun mumkin bo'lgan burilish nuqtalari ro'yxatini aniqlang. Yechim

Funktsiyaning mumkin bo'lgan burilish nuqtalari ro'yxatini olish uchun bizga 2 kerak bo'ladind funktsiyaning hosilasi, shuning uchun bu erda.

\[h'\left( x \right) = - 2x{{\bf{e}}^{4 - {x^{\,2}}}}\hspace{0.5in}h''\left( x \right) = - 2{{\bf{e}}^{4 - {x^{\,2}}}} + 4{x^2}{{\bf{e}}^{4 - {x^{\,2}}}} = \underline {2{{\bf{e}}^{4 - {x^{\,2}}}}\left( {2{x^2} - 1} \right)} \]

2 uchun mahsulot qoidasini unutmangnd hosila va eksponensialni ko'paytuvchilarga ajratishga ajratish keyingi bosqichda biroz yordam beradi.

Endi eslang, mumkin bo'lgan burilish nuqtalari 2nd hosila yo mavjud emas yoki nolga teng. Aniq bo'lishi kerakki, 2nd hosila hamma joyda mavjud (u hamma joyda mavjud bo'lgan ikkita funktsiyaning mahsulotidir ...). Bundan tashqari, biz eksponentlar hech qachon nolga teng emasligini bilamiz va shuning uchun 2nd hosila \(2{x^2} - 1 = 0\) yechimlarida nolga teng bo'ladi

Ushbu funktsiyaning mumkin bo'lgan kritik nuqtalari quyidagilardir:

\[\underline {x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm 0.7071} \]

b Funktsiya yuqoriga va pastga botiq bo'lgan intervallarni aniqlang. Yechim

Bu qismda ko'p narsa yo'q. Bu erda bizga kerak bo'lgan yagona narsa 2 uchun raqam chizig'ind hosila. Mana bu,

A number line for the second derivative of \(h\left( x \right) = {{\bf{e}}^{4 - {x^2}}}\) with dashed vertical lines at \(x = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) and \(x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) dividing it into three regions. In the left region \(h''\left( { - 1} \right) = 2{{\bf{e}}^3}\) so \(h''\left( x \right) > 0\), in the middle region \(h''\left( 0 \right) = - 2{{\bf{e}}^4}\) so \(h''\left( x \right) < 0\), and in the right region \(h''\left( 1 \right) = 2{{\bf{e}}^3}\) so \(h''\left( x \right) > 0\).

Bundan biz funktsiya uchun quyidagi konkav yuqori/past ma'lumotni olamiz.

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\,\,\,\,\,\,\,{\mbox{Concave Up : }}\left( { - \infty , - \frac{1}{\sqrt{2}}} \right)\,\,\,\,\,\& \,\,\,\,\,\left( {\frac{1}{\sqrt{2}},\infty } \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\mbox{Concave Down : }}\left( { - \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}} \right)}}\]

c Funksiyaning burilish nuqtalarini aniqlang. Yechim

Ushbu qism uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa avvalgi bosqich natijalarini sharhlashdir. Esingizda bo'lsin, egilish nuqtalari konkavlik o'zgargan nuqtalardir (oddiy 2 nuqtadan farqli o'laroq).nd hosila nolga teng yoki mavjud emas). Shuning uchun, bu funktsiya uchun burilish nuqtalari:

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x = - \frac{1}{\sqrt{2}} = - 0.7071\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \frac{1}{\sqrt{2}} = 0.7071}}\]