Asosiy tarkibga o'tish

4.6-bo'lim : Grafik shakli, II qism

6. \(\left[ { - 1,2} \right]\) da \(h\left( w \right) = 8 - 5w + 2{w^2} - \cos \left( {3w} \right)\) uchun quyidagi savollarning har biriga javob bering.

  1. Funktsiya uchun mumkin bo'lgan burilish nuqtalari ro'yxatini aniqlang.
  2. Funktsiya yuqoriga va pastga botiq bo'lgan intervallarni aniqlang.
  3. Funksiyaning burilish nuqtalarini aniqlang.
a Funktsiya uchun mumkin bo'lgan burilish nuqtalari ro'yxatini aniqlang. Yechim

Funktsiyaning mumkin bo'lgan burilish nuqtalari ro'yxatini olish uchun bizga 2 kerak bo'ladind funktsiyaning hosilasi, shuning uchun bu erda.

\[h'\left( w \right) = - 5 + 4w + 3\sin \left( {3w} \right)\hspace{0.5in}\underline {h''\left( w \right) = 4 + 9\cos \left( {3w} \right)} \]

Endi eslang, mumkin bo'lgan burilish nuqtalari 2nd hosila yo mavjud emas yoki nolga teng. Aniq 2nd hosila hamma joyda mavjud (kosinus funktsiyasi hamma joyda mavjud ...) va biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa 2 ni o'rnatish.nd nolga teng hosila va yechish. Biz bu tafsilotlarning barchasini ko'rsatmoqchi emasmiz, shuning uchun jarayonni biroz ko'rib chiqishingiz kerak bo'lsa, ga qayting Trig tenglamalarni yechish ba'zi misollar uchun bo'limlar.

Ushbu funktsiyaning mumkin bo'lgan burilish kritik nuqtalari:

\[\begin{array}{*{20}{c}}{w = 0.6771 + {\textstyle{{2\pi } \over 3}}n}\\{w = 1.4173 + {\textstyle{{2\pi } \over 3}}n}\end{array} \hspace{0.5in}n = 0,\, \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3, \ldots \]

Ba'zi \(n\)-larni ulash \(\left[ { - 1,2} \right]\) oralig'ida quyidagi mumkin bo'lgan burilish nuqtalarini beradi.

\[\underline {w = - 0.6771\hspace{0.5in}w = 0.6771\hspace{0.5in}w = 1.4173} \]

b Funktsiya yuqoriga va pastga botiq bo'lgan intervallarni aniqlang. Yechim

Bu qismda ko'p narsa yo'q. Bu erda bizga kerak bo'lgan yagona narsa 2 uchun raqam chizig'ind hosila. Mana bu,

A number line for the second derivative of \(h\left( w \right) = 8 - 5w + 2{w^2} - \cos \left( {3w} \right)\) over the interval \(\left[ { - 1,2} \right]\), with dashed vertical lines at \(w = - 0.6771\), \(w = 0.6771\) and \(w = 1.4173\) dividing it into four regions. In the first region \(h''\left( { - 1} \right) = - 4.9\) so \(h''\left( w \right) < 0\), in the second \(h''\left( 0 \right) = 13\) so \(h''\left( w \right) > 0\), in the third \(h''\left( 1 \right) = - 4.9\) so \(h''\left( w \right) < 0\), and in the fourth \(h''\left( 2 \right) = 12.6\) so \(h''\left( w \right) > 0\).

Bundan biz funktsiya uchun quyidagi konkav yuqori/past ma'lumotni olamiz.

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{\begin{align*}\,\,\,\,\,\,\,{\mbox{Concave Up : }} & \left( { - 0.6771,\,\,0.6771} \right)\,\,\,\,\,\& \,\,\,\,\,\left( {1.4173,\,\,2} \right]\\ {\mbox{Concave Down : }} & \left[ { - 1,\,\, - 0.6771} \right)\,\,\,\,\,\,\& \,\,\,\,\,\,\left( {0.6771,\,\,1.4173} \right)\end{align*}}\]

Ushbu intervallarning oxirgi nuqtalari bilan ehtiyot bo'ling! Biz \(\left[ { - 1,2} \right]\) oraliqda ishlayapmiz va bu oraliqdan tashqarida konkavlik uchun hech qanday ish qilmadik va shuning uchun intervaldan tashqarida nima sodir bo‘lishi haqida hech narsa deya olmaymiz.


c Funksiyaning burilish nuqtalarini aniqlang. Yechim

Ushbu qism uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa avvalgi bosqich natijalarini sharhlashdir. Esingizda bo'lsin, egilish nuqtalari konkavlik o'zgargan nuqtalardir (oddiy 2 nuqtadan farqli o'laroq).nd hosila nolga teng yoki mavjud emas). Shuning uchun, bu funktsiya uchun burilish nuqtalari:

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{w = - 0.6771\,\,\,\,\,\,\,w = 0.6771\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,w = 1.4173}}\]

Oldingi bosqichda bo'lgani kabi, biz ham ehtiyot bo'lishimiz va \(\left[ { - 1,2} \right]\) oralig'ida ishlayotganimizni esga olishimiz kerak. Yana cheksiz ko'p mumkin bo'lgan burilish nuqtalari mavjud va biz ular aslida burilish nuqtalari ekanligini aniqlash uchun oraliqdan tashqarida hech qanday ish qilmadik!