Asosiy tarkibga o'tish

4.6-bo'lim : Grafik shakli, II qism

4. \(g\left( z \right) = {z^4} - 12{z^3} + 84z + 4\) uchun quyidagi savollarning har biriga javob bering.

  1. Funktsiya uchun mumkin bo'lgan burilish nuqtalari ro'yxatini aniqlang.
  2. Funktsiya yuqoriga va pastga botiq bo'lgan intervallarni aniqlang.
  3. Funksiyaning burilish nuqtalarini aniqlang.
a Funktsiya uchun mumkin bo'lgan burilish nuqtalari ro'yxatini aniqlang. Yechim

Funktsiyaning mumkin bo'lgan burilish nuqtalari ro'yxatini olish uchun bizga 2 kerak bo'ladind funktsiyaning hosilasi, shuning uchun bu erda.

\[g'\left( z \right) = 4{z^3} - 36{z^2} + 84\hspace{0.5in}\underline {g''\left( z \right) = 12{z^2} - 72z = 12z\left( {z - 6} \right)} \]

Endi eslang, mumkin bo'lgan burilish nuqtalari 2nd hosila yo mavjud emas yoki nolga teng. Aniq 2nd hosila hamma joyda mavjud (bu ko'phad ....) va biz 2 ni ko'paytirganimiz uchunnd lotin, qaerda 2 juda aniq bo'lishi keraknd hosilasi nolga teng. Ushbu funktsiyaning mumkin bo'lgan burilish kritik nuqtalari:

\[\underline {z = 0\,\,\,\,\,\,\,\& \,\,\,\,\,\,z = 6} \]

b Funktsiya yuqoriga va pastga botiq bo'lgan intervallarni aniqlang. Yechim

Bu qismda ko'p narsa yo'q. Bu erda bizga kerak bo'lgan yagona narsa 2 uchun raqam chizig'ind hosila. Mana bu,

A number line for the second derivative of \(g\left( z \right) = {z^4} - 12{z^3} + 84z + 4\) with dashed vertical lines at \(z = 0\) and \(z = 6\) dividing it into three regions. In the left region \(g''\left( { - 1} \right) = 84\) so \(g''\left( z \right) > 0\), in the middle region \(g''\left( 1 \right) = - 60\) so \(g''\left( z \right) < 0\), and in the right region \(g''\left( 7 \right) = 84\) so \(g''\left( z \right) > 0\).

Bundan biz funktsiya uchun quyidagi konkav yuqori/past ma'lumotni olamiz.

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{{\mbox{Concave Up : }}\left( { - \infty ,0} \right)\,\,\,\,\& \,\,\,\,\left( {6,\infty } \right)\hspace{0.5in}{\mbox{Concave Down : }}\left( {0,6} \right)}}\]

c Funksiyaning burilish nuqtalarini aniqlang. Yechim

Ushbu qism uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa avvalgi bosqich natijalarini sharhlashdir. Esingizda bo'lsin, egilish nuqtalari konkavlik o'zgargan nuqtalardir (oddiy 2 nuqtadan farqli o'laroq).nd hosila nolga teng yoki mavjud emas). Shuning uchun, bu funktsiya uchun burilish nuqtalari:

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{z = 0\,\,\,\,\,\,\& \,\,\,\,\,z = 6}}\]