Asosiy tarkibga o'tish

4.6-bo'lim : Grafik shakli, II qism

3. \(f\left( x \right) = 12 + 6{x^2} - {x^3}\) uchun quyidagi savollarning har biriga javob bering.

  1. Funktsiya uchun mumkin bo'lgan burilish nuqtalari ro'yxatini aniqlang.
  2. Funktsiya yuqoriga va pastga botiq bo'lgan intervallarni aniqlang.
  3. Funksiyaning burilish nuqtalarini aniqlang.
a Funktsiya uchun mumkin bo'lgan burilish nuqtalari ro'yxatini aniqlang. Yechim

Funktsiyaning mumkin bo'lgan burilish nuqtalari ro'yxatini olish uchun bizga 2 kerak bo'ladind funktsiyaning hosilasi, shuning uchun bu erda.

\[f'\left( x \right) = 12x - 3{x^2}\hspace{0.5in}\hspace{0.25in}\underline {f''\left( x \right) = 12 - 6x} \]

Endi eslang, mumkin bo'lgan burilish nuqtalari 2nd hosila yo mavjud emas yoki nolga teng. Aniq 2nd hosila hamma joyda mavjud (bu ko'phad ....) va bu holda 2 ning qayerda ekanligi aniq bo'lishi kerak.nd hosilasi nolga teng. Bu holda funktsiyaning yagona mumkin bo'lgan burilish kritik nuqtasi,

\[\underline {x = 2} \]

b Funktsiya yuqoriga va pastga botiq bo'lgan intervallarni aniqlang. Yechim

Bu qismda ko'p narsa yo'q. Bu erda bizga kerak bo'lgan yagona narsa 2 uchun raqam chizig'ind hosila. Mana bu,

A number line for the second derivative of \(f\left( x \right) = 12 + 6{x^2} - {x^3}\) with a single dashed vertical line at \(x = 2\). To the left of it \(f''\left( 1 \right) = 6\) so \(f''\left( x \right) > 0\), and to the right of it \(f''\left( 3 \right) = - 6\) so \(f''\left( x \right) < 0\).

Bundan biz funktsiya uchun quyidagi konkav yuqori/past ma'lumotni olamiz.

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{{\mbox{Concave Up : }}\left( { - \infty ,2} \right)\hspace{0.5in}\hspace{0.5in}{\mbox{Concave Down : }}\left( {2,\infty } \right)}}\]

c Funksiyaning burilish nuqtalarini aniqlang. Yechim

Ushbu qism uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa avvalgi bosqich natijalarini sharhlashdir. Esingizda bo'lsin, egilish nuqtalari konkavlik o'zgargan nuqtalardir (oddiy 2 nuqtadan farqli o'laroq).nd hosila nolga teng yoki mavjud emas). Shuning uchun, bu funktsiya uchun yagona burilish nuqtasi,

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x = 2}}\]