Asosiy tarkibga o'tish

4.6-bo'lim : Grafik shakli, II qism

14. \(P\left( w \right) = w\,{{\bf{e}}^{4w}}\) uchun quyidagi savollarning har biriga javob bering.

  1. Funktsiyaning kritik nuqtalarini aniqlang.
  2. Funksiyaning ortishi va kamayishi oraliqlarini aniqlang.
  3. Kritik nuqtalarni nisbiy maksimal, nisbiy minimum yoki hech biri sifatida tasniflang.
  4. Funktsiya yuqoriga va pastga botiq bo'lgan intervallarni aniqlang.
  5. Funksiyaning burilish nuqtalarini aniqlang.
  6. Bosqichlardagi ma'lumotlardan foydalaning (a) – (e) funksiyaning grafigini chizish uchun.
a Funktsiyaning kritik nuqtalarini aniqlang. Yechim

Ushbu muammoning qismlari (oxirgi qism bundan mustasno) xuddi oldingi bo'limdagi asosiy oshirish/kamayish muammolari va ushbu bo'limning oldingi qismidagi asosiy konkavlik muammolari kabi. Shuning uchun biz bu erda juda ko'p tafsilotlarni keltirmaymiz. Agar siz hali ham ushbu muammoning qismlarini qanday ishlashni bilmasangiz, davom etishdan oldin orqaga qaytib, oldingi va/yoki ushbu bo'limning oldingi qismidagi bir nechta asosiy muammolarni hal qilishingiz kerak.

Shuni ham yodda tutingki, biz hali L'Hospital qoidasini muhokama qilmaganmiz (bu bir necha bo'limda keltirilgan ...) va bu grafikning \(w \to \pm \,\infty \) sifatida harakatini biroz murakkabroq qiladi. Ushbu bo'limni ko'rib chiqqanimizdan so'ng, siz \(w \to \pm \,\infty \) sifatida grafikning xatti-harakati bilan rozi ekanligingizni bilish uchun qaytib kelishingiz mumkin.

Bizga 1 kerak bo'ladist ishlarni boshlash uchun hosila.

\[\underline {P'\left( w \right) = {{\bf{e}}^{4w}} + 4w\,{{\bf{e}}^{4w}} = {{\bf{e}}^{4w}}\left( {1 + 4w} \right)} \]

1-danst lotin, biz ushbu funktsiyaning yagona kritik nuqtalari ekanligini ko'rishimiz mumkin,

\[\underline {w = - {\frac{1}{4}}} \]

b Funksiyaning ortishi va kamayishi oraliqlarini aniqlang. Yechim

Bu qismga javob berish uchun bizga kerak bo'lgan yagona narsa 1 uchun raqam chizig'ist hosila.

A number line for the first derivative of \(P\left( w \right) = w{{\bf{e}}^{4w}}\) with a single dashed vertical line at \(w = - \frac{1}{4}\). To the left of it \(P'\left( { - 1} \right) = - 3{{\bf{e}}^{ - 4}}\) so \(P'\left( w \right) < 0\), and to the right of it \(P'\left( 0 \right) = 1\) so \(P'\left( w \right) > 0\).

Bundan biz funktsiya uchun quyidagi oshirish/kamayish ma'lumotlarini olamiz.

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{{\mbox{Increasing : }}\left( { - {\frac{1}{4}},\infty } \right)\hspace{0.25in}{\mbox{Decreasing : }}\left( { - \infty , - {\frac{1}{4}}} \right)}}\]

c Kritik nuqtalarni nisbiy maksimal, nisbiy minimum yoki hech biri sifatida tasniflang. Yechim

Oldingi bosqichdagi son chizig'idan kritik nuqtaning quyidagi tasnifini olamiz.

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{w = - {\frac{1}{4}}:\,\,\,{\mbox{Relative Minimum}}\,}}\]

d Funktsiya yuqoriga va pastga botiq bo'lgan intervallarni aniqlang. Yechim

Bizga 2 kerak bo'ladind mumkin bo'lgan burilish nuqtalari ro'yxatini topish uchun hosila.

\[\underline {P''\left( w \right) = {{\bf{e}}^{4w}}\left( 4 \right) + 4{{\bf{e}}^{4w}}\left( {1 + 4w} \right) = 8{{\bf{e}}^{4w}}\left( {1 + 2w} \right)} \]

Ushbu funktsiya uchun yagona mumkin bo'lgan burilish nuqtasi:

\[\underline {w = - {\frac{1}{2}}} \]

Konkavlik oraliqlarini olish uchun bizga 2 uchun raqam chizig'i kerak bo'ladind hosila.

A number line for the second derivative of \(P\left( w \right) = w{{\bf{e}}^{4w}}\) with a single dashed vertical line at \(w = - \frac{1}{2}\). To the left of it \(P''\left( { - 1} \right) = - 8{{\bf{e}}^{ - 4}}\) so \(P''\left( w \right) < 0\), and to the right of it \(P''\left( 0 \right) = 8\) so \(P''\left( w \right) > 0\).

Bundan biz funktsiya uchun quyidagi konkavlik ma'lumotlarini olamiz.

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{{\mbox{Concave Up : }}\left( { - {\frac{1}{2}},\infty } \right)\hspace{0.5in}{\mbox{Concave Down : }}\left( { - \infty , - {\frac{1}{2}}} \right)}}\]

e Funksiyaning burilish nuqtalarini aniqlang. Yechim

Oldingi bosqichdagi konkavlik ma'lumotlaridan biz funktsiyaning yagona burilish nuqtasi ekanligini ko'rishimiz mumkin,

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{w = - {\frac{1}{2}}}}\]

f Bosqichlardagi ma'lumotlardan foydalaning (a) – (e) funksiyaning grafigini chizish uchun. Yechim

Yuqoridagi ma'lumotlardan foydalangan holda ushbu funktsiyaning grafigining eskizi. Ushbu bo'limdagi masalalarda qilganimizdek, biz grafikda chapdan boshlashimiz va o'ng tomonga o'tishimiz mumkin. Buni amalga oshirayotganda, biz birinchi navbatda ortib borayotgan/kamayuvchi ma'lumotlarga e'tibor beramiz va keyin egri chiziqni chizganimizda to'g'ri konkavlikka ega ekanligiga ishonch hosil qilamiz.

A sketch of the graph of \(P\left( w \right) = w{{\bf{e}}^{4w}}\). Coming in from the left the graph runs just below the horizontal axis, dips through the inflection point \(\left( { - 0.5, - 0.06767} \right)\) to a valley at \(\left( { - 0.25, - 0.09197} \right)\) and then rises steeply, crossing the axis at the origin and continuing sharply upward. The labeled points are marked on the graph.

E'tibor bering, biz eskizni yaratish uchun kompyuterdan foydalanganimiz sababli, eskizingiz bir xil bo'lmasligi mumkin. Biroq, u yuqoridagi grafikda sanab o'tilgan bir xil nuqtalarga, bir xil asosiy o'sish/kamayuvchi tabiatga va bir xil asosiy konkavlikka ega bo'lishi kerak.