4.5-bo'lim : Grafik shakli, I qism
15. \(f\left( x \right)\) ortib boruvchi funksiya ekanligini hisobga olib, \(h\left( x \right) = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\) ni aniqlang. \(h\left( x \right)\) ortib borayotgan funksiya bo'ladimi? Ha bo'lsa, \(h\left( x \right)\) ortib borayotgan funktsiya ekanligini isbotlang. Agar yo'q bo'lsa, \(h\left( x \right)\) ham oshishiga kafolat beradigan \(f\left( x \right)\) funksiyasi uchun zarur bo'lgan boshqa shartlarni aniqlay olasizmi?
Yechim
Biz bilamizki, hosiladan funktsiya ortib borayotganligini aytish uchun ishlatilishi mumkin, shuning uchun \(h\left( x \right)\) hosilasini topamiz. Biz \(f\left( x \right)\) nima ekanligini bilmasligimizdan hayajonlanmang. Biz zanjir qoidasini tez qo'llash orqali lotinni ramziy ravishda olishimiz mumkin.
Mana \(h\left( x \right)\) hosilasi.
\[h'\left( x \right) = 2{\left[ {f\left( x \right)} \right]^1}f'\left( x \right) = 2f\left( x \right)f'\left( x \right)\]2-qadam
Biz bilamizki, funktsiyaning hosilasi musbat bo'lsa, ortib boradi. Shunday qilib, biz javob berishimiz kerak bo'lgan savol, agar biz \(f\left( x \right)\) ning ortib borayotgan funktsiya ekanligini hisobga olsak, \(h'\left( x \right) > 0\) deb kafolat bera olamizmi?
Bizning taxminimizdan \(f\left( x \right)\) ortib borayotgan funktsiyadir va shuning uchun biz \(f'\left( x \right) > 0\) ekanligini bilamiz.
Keling, \(h'\left( x \right)\) bizga nima deyishini ko'rib chiqaylik. Biz \(h'\left( x \right)\) son va ikkita funktsiyaning mahsuloti ekanligini ko'rishimiz mumkin. "2" musbat va shuning uchun hosilaning belgisi \(f\left( x \right)\) va \(f'\left( x \right)\) mahsulotining belgisidan keladi.
3-qadam
OK, bizning taxminimizdan biz \(f'\left( x \right)\) ijobiy ekanligini bilamiz. Biroq, mahsulot ijobiy bo'lishi kafolatlanmaydi.
Masalan, \(f\left( x \right) = x\) ni ko'rib chiqing. Shubhasiz, \(f'\left( x \right) = 1 > 0\), va shuning uchun bu ortib borayotgan funktsiyadir. Biroq, \(f\left( x \right)f'\left( x \right) = \left( x \right)\left( 1 \right) = x\). Shu sababli, mahsulot har doim ham ijobiy bo'lmasligini ko'rishimiz mumkin. Bu juda ajablanarli bo'lmasa kerak,
\[h\left( x \right) = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} = {\left[ x \right]^2} = {x^2}\]Bunday holda biz \(h\left( x \right)\) har doim ham ortib borayotgan funktsiya bo'lmasligini aniq ko'rishimiz mumkin.
Boshqa tomondan, agar biz \(f\left( x \right) = {{\bf{e}}^x}\) ga ruxsat bersak, biz \(f'\left( x \right) = {{\bf{e}}^x} > 0\)ni ko'rishimiz mumkin va biz \(f\left( x \right)f'\left( x \right) = \left( {{{\bf{e}}^x}} \right)\left( {{{\bf{e}}^x}} \right) = {{\bf{e}}^{2x}} > 0\)ni ham ko'rishimiz mumkin.
Shunday qilib, ushbu ikkita misoldan biz \(f\left( x \right)\) o'sish funktsiyalarini topishimiz mumkinligini ko'rishimiz mumkin, ular uchun \({\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\) har doim ham ortib borishi mumkin.
4-qadam
Xo'sh, yuqoridagi ikkita misol o'rtasidagi farq nima edi?
Birinchi misol, \(f\left( x \right) = x\) bilan bog'liq muammo shundaki, u har doim ham ijobiy emas edi, shuning uchun \(f\left( x \right)\) va \(f'\left( x \right)\) mahsuloti har doim ham biz kerak bo'lgan ijobiy bo'lavermaydi.
Bu ikkinchi misol, \(f\left( x \right) = {{\bf{e}}^x}\) bilan muammo emas edi. Bu holda funktsiya har doim ijobiy bo'ladi va shuning uchun funktsiya va uning hosilasi ham ijobiy bo'ladi.
Bu, shuningdek, \(h\left( x \right)\) ijobiy bo'lishini kafolatlashimiz kerak bo'lgan qo'shimcha shartdir.
Agar biz \(f\left( x \right)\) ni ortib borayotgan funktsiyada degan farazdan boshlasak, \(h\left( x \right) = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\) ortib borayotgan funktsiya bo'lishini kafolatlash uchun \(f\left( x \right)\) ni ijobiy funktsiya deb taxmin qilishimiz kerak.