4.5-bo'lim : Grafik shakli, I qism
13. \(f\left( x \right)\) ba'zi funksiyalari uchun \(x = 4\) da nisbiy maksimal mavjudligi ma'lum. Ushbu funktsiya haqida quyidagi savollarning har biriga javob bering.
- Bu funksiya hosilasining eng oddiy shakli qanday?
Eslatma: Haqiqatan ham lotinning ko'plab mumkin bo'lgan shakllari mavjud, shuning uchun bu muammoning qolgan qismini iloji boricha sodda qilish uchun siz o'zingiz o'ylab topish mumkin bo'lgan hosilaning eng oddiy shaklidan foydalanishni xohlaysiz. - (a) dagi javobingizdan foydalanib, funktsiyaning eng umumiy shaklini aniqlang.
- \(f\left( 4 \right) = 1\) \(x = 4\) da nisbiy maksimalga ega bo'lgan funksiyani toping.
Eslatma: Ushbu qismga javobni aniqlash uchun (b) dan javobingizdan foydalanishingiz kerak.
a Bu funksiya hosilasining eng oddiy shakli qanday? Yechim
OK, keling, bu muammoni boshlaylik.
Biz qiladigan birinchi narsa, lotin hamma joyda mavjud deb taxmin qilishdir. Matematika darsida taxminlar qilish odatda yomon narsa. Biroq, bu holda, bizdan lotin shaklini o'ylab topishni so'rashganligi sababli, biz bu erda qilayotgan narsamiz bu jarayonni boshlashdir. Agar biz hamma joyda mavjud bo'lgan nuqtada nisbiy maksimalga ega bo'lgan hosilani topa olmasak, biz qaytib kelib, narsalarni o'zgartirishimiz mumkin. Agar biz hamma joyda mavjud bo'lgan hosilani topsak (biz ko'rib turganimizdek), bu taxmin lotinni iloji boricha sodda saqlashga yordam beradi.
Endi biz hosila hamma joyda mavjud deb faraz qilayotganimizni hisobga olsak va agar biz \(x = 4\) da nisbiy maksimalga ega bo‘lsak, \(x = 4\) ham muhim nuqta bo‘lishi kerakligini bilamiz. Ferma teoremasi bir necha bo'limdan oldin ...). Bu biz yuqorida qilgan taxminning yana bir sababidir. Ferma teoremasi, hosila ham kritik nuqta ekanligini bilish uchun shu nuqtada mavjudligini talab qiladi.
Keyinchalik, hosila hamma joyda mavjud deb taxmin qilganimiz uchun (va ayniqsa, u \(x = 4\) da mavjud), biz bilamizki, u muhim nuqta bo'lishi uchun bizda \(f'\left( 4 \right) = 0\) ham bo'lishi kerak. \(x = 4\) da nolga teng bo'lgan juda ko'p va juda ko'p funktsiyalar mavjud, ammo eng oddiylaridan biri foydalanishdir,
\[f'\left( x \right) = x - 4\]Bu bizga kerak bo'lganda \(f'\left( 4 \right) = 0\) beradi, ammo bizda muammo bor. Biz aniq ko'ramizki, agar \(x < 4\) bizda \(f'\left( x \right) < 0\), \(x > 4\) bo'lsa, \(f'\left( x \right) > 0\) bo'lar edi. Bu \(x = 4\) biz xohlagan nisbiy maksimal emas, balki nisbiy minimal bo'lishi kerakligini aytadi.
Yaxshiyamki, biz uchun buni tuzatish oson. Bizning dastlabki taxminimizdagi yagona muammo shundaki, \(x = 4\) ning o'ng va chap tomonidagi lotin belgilari bizga kerak bo'lgan narsaga qarama-qarshidir. Shuning uchun, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa ularni o'zgartirishdir va buni salbiy yoki ko'paytirish orqali osonlikcha bajarish mumkin,
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{f'\left( x \right) = 4 - x}}\]Ushbu tanlov bilan bizda hali ham \(f'\left( 4 \right) = 0\) bor va endi hosila \(x < 4\) bo'lsa ijobiy va \(x > 4\) bo'lsa manfiy bo'ladi, bu \(x = 4\) nisbiy maksimal bo'lishini anglatadi.
Muammo bayonotida ta'kidlanganidek, bu qismga ko'plab javoblar mavjud. Biz yuqorida tavsiflangani bilan ishlaymiz. Biroq, bu erda fikrni ta'kidlash uchun, \(x = 4\) da nisbiy maksimalga ega bo'lgan funktsiyalardan kelib chiqadigan boshqa hosilalarning namunasi.
\[f'\left( x \right) = 16 - {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) = 24 + 18x - 6{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) = {{\bf{e}}^{4 - \,x}} - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) = \sin \left( {2\pi - \pi x} \right)\]Ushbu muammoning qolgan qismini \(f'\left( x \right) = 4 - x\) bilan ishlaganingizdan so'ng, siz qaytib kelishingiz va nimaga erishganingizni ko'rish uchun ulardan biri yoki bir nechtasi bilan muammoni takrorlashingiz mumkinligini ko'rishingiz mumkin.
b (a) dagi javobingizdan foydalanib, funktsiyaning eng umumiy shaklini aniqlang. Yechim
Xo'sh, oldingi qismdan biz funktsiyamizning hosilasi \(f'\left( x \right) = 4 - x\) deb taxmin qildik va biz ega bo'lishi mumkin bo'lgan eng umumiy funktsiyani aniqlash uchun differentsiatsiyani "bekor qilishimiz" kerak.
Shunday qilib, buni qilishdan oldin, biz farqlash haqida bilganimizni eslaylik. Birinchidan, quyidagi formulani eslaylik:
\[\frac{d}{{dx}}\left( {{x^n}} \right) = n{x^{n - 1}}\]\(x\) quvvatini ajratsak, quvvat bittaga kamayadi. Shunday qilib, \(x\)ni olish uchun nimani farqlashimiz kerak? Biz \(x\) ko'rsatkichi 1 bo'lgani uchun biz \({x^2}\) ni farqlashimiz kerak edi. Biroq, biz \({x^2}\) ning hosilasi 2\(x\) ekanligini bilamiz va biz faqat \(x\) ni xohlaymiz, bu aslida \(x\)ni olish uchun \({\frac{1}{2}}{x^2}\) ni farqlashimiz kerakligini anglatadi.
Keyin, shuningdek, eslang,
\[\frac{d}{{dx}}\left( {kx} \right) = k\]Shunday qilib, buni qo'llanma sifatida ishlatish juda oddiy bo'lishi kerak, biz 4 ni olish uchun 4\(x\) ni farqlashimiz kerakligini tushunishimiz kerak.
Shunday qilib, agar biz ushbu ikki qismni birlashtirsak, quyidagi funktsiyadan foydalanishimiz mumkin.
\[f\left( x \right) = 4x - {\frac{1}{2}}{x^2}\]Ushbu funktsiyaning hosilasi aniq \(f'\left( x \right) = 4 - x\). Biroq, bu lotinni beradigan eng umumiy mumkin bo'lgan funktsiya emas.
Shuni unutmangki, doimiyning hosilasi nolga teng va shuning uchun biz funktsiyamizga istalgan doimiyni qo'shishimiz va bir xil hosilani olishimiz mumkin.
Bu o'quvchilar farqlashni "bekor qilish" ni o'rganishda qiladigan eng katta xatolardan biridir. Biz har doim farqlashni bekor qilsak, har doim asl funktsiyada doimiy bo'lish ehtimoli bor va shuning uchun biz buni tan olishimiz kerak. Biz buni odatda funksiyamizning oxiriga “+ \(c\)” qo‘shish orqali qilamiz. Biz umumiy \(c\) dan foydalanamiz, chunki bizda doimiy bo'lishini bilishning imkoni yo'q va bu barcha mumkin bo'lgan konstantalarga imkon beradi.
Shuning uchun, biz \(f'\left( x \right) = 4 - x\) ni olish uchun foydalanishimiz mumkin bo'lgan eng umumiy funktsiya:
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{f\left( x \right) = 4x - {\frac{1}{2}}{x^2} + c}}\]c \(f\left( 4 \right) = 1\) \(x = 4\) da nisbiy maksimalga ega bo'lgan funksiyani toping. Yechim
Bu qismni bajarish uchun biz avvalgi qismdagi javobimizga \(x = 4\) ni ulab, natijani 1 ga tenglashtirsak bo‘ladi. Natijada bitta noma’lum qiymatli \(c\) tenglama hosil bo‘ladi. Shunday qilib, biz faqat \(c\) ni hal qilishimiz kerak.
Mana bu qism uchun ish.
\[1 = f\left( 4 \right) = 4\left( 4 \right) - {\frac{1}{2}}{\left( 4 \right)^2} + c = 8 + c\,\,\,\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 = 8 + c\,\,\,\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c = - 7\]Shunday qilib, \(x = 4\) da nisbiy maksimal bo'lishi mumkin bo'lgan bir funktsiyaga o'xshaydi,
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{f\left( x \right) = 4x - {\frac{1}{2}}{x^2} - 7}}\]Ushbu muammoning yakuniy qismi sifatida, bu funktsiyaning \(x = 4\) da nisbiy maksimalga ega ekanligini tekshirish uchun qisqacha grafik.
