3.11-bo'lim : Tegishli tariflar
8. Velosipedda ikki kishi bir joyda. Velosipedchilardan biri to'g'ridan-to'g'ri shimolga 8 m/sek tezlikda minishni boshlaydi. Birinchi velosipedchi shimolga minishni boshlaganidan besh soniya o'tgach, ikkinchisi to'g'ridan-to'g'ri sharqqa 5 m/sek tezlikda yura boshlaydi. Ikkinchi odam minishni boshlaganidan keyin 20 soniyadan keyin ikki chavandoz orasidagi masofa qanday tezlikda oshadi?
Yechim
Mana bu holatning eskizi.
Biz \(z'\) ni ikkinchi velosipedchi sharqqa minishni boshlagandan keyin 20 soniyadan keyin aniqlamoqchimiz, chunki \(x' = 5\), \(y' = 8\) va ular xuddi shu nuqtadan boshlanadi deb faraz qilamiz.
2-qadam
Umid qilamanki, bu muammoni hal qilish uchun bizga Pifagor teoremasi kerakligi aniq, shuning uchun mana shunday.
\[{z^2} = {x^2} + {y^2}\]3-qadam
Va nihoyat, keling, buni \(t\) bilan farqlaylik va biz uni \(z'\) uchun ham hal qila olamiz, shunda haqiqiy yechim tez va oson topiladi.
\[2z\,z' = 2x\,x' + 2y\,y'\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}z' = \frac{{x\,x' + y\,y'}}{z}\]4-qadam
Ushbu muammoni hal qilish uchun biz yuqoridagi eskizdagi uchburchakning barcha uchta uzunligini aniqlashimiz kerak. Biz \(x\) va \(y\) ni tezlik va vaqtdan foydalanib, Pifagor teoremasidan qayta foydalanish orqali \(z\)ni topishimiz mumkin. Esda tutingki, sharqqa qarab ketayotgan velosipedchi 20 soniya, shimolga ketayotgan velosipedchi esa 25 soniya minadi (bu velosipedchi 5 soniya oldin boshlangan...).
\[\begin{array}{c}x = \left( 5 \right)\left( {20} \right) = 100\hspace{0.5in}\hspace{0.25in}y = \left( 8 \right)\left( {25} \right) = 200\\ z = \sqrt {{{100}^2} + {{200}^2}} = \sqrt {50000} = 100\sqrt 5 = 223.6068\end{array}\]Ikki kishi orasidagi masofaning o'zgarish tezligi u holda,
\[z' = \frac{{\left( {100} \right)\left( 5 \right) + \left( {200} \right)\left( 8 \right)}}{{223.6068}} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{9.3915}}\]