3.11-bo'lim : Tegishli tariflar
10. Konus shaklidagi suv idishi 12 m tezlikda suv bilan to'ldirilmoqda.3/sek. Tankning tayanch radiusi 26 metr, balandligi esa 8 metr. Suv tepasining radiusi 10 metr bo'lganda, idishdagi suvning chuqurligi qanday tezlikda o'zgaradi?
Yechim
Mana, tankning ko'ndalang kesimining eskizi va uni masofadan o'lchash ham mumkin emas, chunki men atrofida yotgan eski tasvirni qayta ishlatishni osonlashtirdim. Men ba'zida biroz dangasa bo'lishim mumkin. Hech bo'lmaganda men muammo bayonotidagi tasvir bilan kamroq dangasa bo'ldim….
Biz \(r = 10\) qachon \(h'\) ni aniqlamoqchimiz va biz \(V' = 12\) ekanligini bilamiz.
2-qadam
Bizga konusning hajmi uchun tenglama kerak bo'ladi.
\[V = {\textstyle{1 \over 3}}\pi {r^2}h\]Ammo bu muammo, chunki unda \(r\) ham, \(h\) ham mavjud va faqat \(h\) bo'lsa yaxshi bo'lardi, chunki bizga \(h'\) kerak. Buni tuzatish uchun shunga o'xshash uchburchaklardan foydalanishimiz mumkin. Shunga o'xshash uchburchaklar asosida biz \(r\) uchun echilishi mumkin bo'lgan quyidagi tenglamani olamiz.
\[\frac{r}{h} = \frac{{26}}{8}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}r = {\textstyle{{13} \over 4}}h\]Buni hajm tenglamasiga kiritish,
\[V = {\textstyle{{169} \over {48}}}\pi {h^3}\]3-qadam
Keling, buni \(t\) bilan farqlaylik.
\[V' = {\textstyle{{169} \over {16}}}\pi {h^2}h'\]4-qadam
Bu muammoni yakunlash uchun bizni qiziqtirgan vaqt uchun \(h\) qiymatini aniqlash kifoya. Buni o'xshash uchburchak tenglamasidan va biz \(r = 10\)ni bilishimizdan osonlik bilan amalga oshirish mumkin.
\[h = {\textstyle{4 \over {13}}}r = {\textstyle{4 \over {13}}}\left( {10} \right) = {\textstyle{{40} \over {13}}}\]Suv balandligining o'zgarish tezligi u holda,
\[12 = {\textstyle{{169} \over {16}}}\pi {\left( {{\textstyle{{40} \over {13}}}} \right)^2}h' = 100\pi h'\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{h' = {\textstyle{3 \over {25\pi }}}}}\]