4.8-bo'lim : Optimallashtirish
7. Biz 30 sm hajmga ega bo'lgan pastki qismi, lekin tepasi bo'lmagan silindrsimon quti yasamoqchimiz.3. Konserva qurish uchun zarur bo'lgan material miqdorini kamaytiradigan qutining o'lchamlarini aniqlang.
Yechim
Birinchi qadam muammoning tezkor eskizini qilishdir. Bu holatda biz eskizni o'tkazib yuborishimiz mumkin, ammo bu juda yomon odat. Ushbu muammolarning ko'pchiligi uchun eskiz haqiqatan ham qulaydir va u muammodagi ba'zi muhim ma'lumotlarni kuzatib borish va muammoning o'zgaruvchilarini "aniqlash" uchun ishlatilishi mumkin.
Mana bu muammoning eskizi.
2-qadam
Keyinchalik, bizdan optimallashtirish so'raladigan cheklov va tenglamani o'rnatishimiz kerak.
Bizga qutining hajmi 30 sm bo'lishi kerakligini aytishdi3 va shuning uchun bu cheklovdir.
\[30 = \pi {r^2}h\] Bizdan qutini qurish uchun zarur bo'lgan material miqdorini minimallashtirish so'raladi, \[A = 2\pi rh + \pi {r^2}\]Eslatib o'tamiz, bankaning tepasi bo'lmaydi va shuning uchun ikkinchi atama faqat qutining pastki qismi uchun bo'ladi.
3-qadam
Keling, \(h\) uchun cheklovni hal qilaylik (bu bizga ildizlar bilan ishlashdan qochish imkonini beradi).
\[h = \frac{{30}}{{\pi {r^2}}}\]Buni moddiy funktsiya miqdoriga ulash,
\[A\left( r \right) = 2\pi r\left( {\frac{{30}}{{\pi {r^2}}}} \right) + \pi {r^2} = \frac{{60}}{r} + \pi {r^2}\]4-qadam
Buning uchun muhim nuqta(lar)ni topish hozircha unchalik qiyin bo'lmasligi kerak. Mana lotin.
\[A'\left( r \right) = - \frac{{60}}{{{r^2}}} + 2\pi r = \frac{{2\pi {r^3} - 60}}{{{r^2}}}\]Bundan yagona muhim nuqta: \(r = \sqrt[3]{\frac{60}{2\pi}} = 2.1216\).
E'tibor bering, \(r=0\) muhim nuqta bo'la olmaydi, chunki u erda funktsiya mavjud emas.
Bu erda ehtiyot bo'ling va nolni tanqidiy nuqta sifatida yo'q qilishni odat qilmang. Bu holatda uni yo'q qilishning yagona sababi jismoniy sabablarga ko'ra. Agar biz hech qanday jismoniy asossiz tenglamalarni bergan bo'lsak, u ishning qolgan qismiga kiritilishi kerak edi!
5-qadam
Hajm funksiyasining ikkinchi hosilasi:
\[A''\left( r \right) = \frac{{120}}{{{r^3}}} + 2\pi \]Bundan biz ikkinchi hosila musbat \(r\) uchun har doim ijobiy ekanligini ko'rishimiz mumkin (bu holat uchun biz doimo shunday bo'lamiz, chunki \(r\) qutining radiusi). Shuning uchun, \(r\) ijobiy bo'lsa, \(A\left( r \right)\) har doim konkav bo'ladi va shuning uchun biz 4-bosqichda olgan yagona kritik nuqta nisbiy minimal bo'lishi kerak va shuning uchun materialning minimal miqdorini beradigan qiymat bo'lishi kerak.
6-qadam
Keling, qutining balandligini olish bilan muammoni tugatamiz.
\[h = \frac{{30}}{{\pi {{\left( {2.1216} \right)}^2}}} = 2.1215\]Yakuniy o'lchamlar keyin,
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{r = 2.1216\hspace{1.0in}h = 2.1215}}\]