4.8-bo'lim : Optimallashtirish
6. Biz taglikning uzunligi taglikning kengligidan 6 barobar ko'p bo'lgan quti qurmoqchimiz va quti 20 ni o'rab oladi.3. Yon tomonlarning materialining narxi 3 dollar / dyuymni tashkil qiladi2 va yuqori va pastki narxi $15/in2. Xarajatlarni kamaytiradigan qutining o'lchamlarini aniqlang.
Yechim
Birinchi qadam muammoning tezkor eskizini qilishdir. Bu holatda biz eskizni o'tkazib yuborishimiz mumkin, ammo bu juda yomon odat. Ushbu muammolarning ko'pchiligi uchun eskiz haqiqatan ham qulaydir va u muammodagi ba'zi muhim ma'lumotlarni kuzatib borish va muammoning o'zgaruvchilarini "aniqlash" uchun ishlatilishi mumkin.
Mana bu muammoning eskizi.
2-qadam
Keyinchalik, bizdan optimallashtirish so'raladigan cheklov va tenglamani o'rnatishimiz kerak.
Bizga qutining hajmi 20 dyuym bo'lishi kerakligini aytishdi3 va shuning uchun bu cheklovdir.
\[20 = lwh = 6{w^2}h\] Bizdan xarajatlarni minimallashtirish so'raladi va xarajat funktsiyasi: \[C = 3\left[ {2\left( {lh} \right) + 2\left( {wh} \right)} \right] + 15\left[ {2\left( {lw} \right)} \right] = 3\left[ {12wh + 2wh} \right] + 15\left[ {12{w^2}} \right] = 42wh + 180{w^2}\]Shuni ham yodda tutingki, biz oldinga bordik va tenglamadagi uchta o'zgaruvchini ikkita o'zgaruvchiga kamaytirish uchun ikkala tenglamada \(l = 6w\) faktidan foydalandik.
3-qadam
Keling, \(h\) uchun cheklovni hal qilaylik (bu bizga ildizlar bilan ishlashdan qochish imkonini beradi).
\[h = \frac{{10}}{{3{w^2}}}\]Buni xarajat funksiyasiga ulash, beradi,
\[C\left( w \right) = 42w\left( {\frac{{10}}{{3{w^2}}}} \right) + 180{w^2} = \frac{{140}}{w} + 180{w^2}\]4-qadam
Buning uchun muhim nuqta(lar)ni topish hozircha unchalik qiyin bo'lmasligi kerak. Mana lotin.
\[C'\left( w \right) = - \frac{140}{w^2} + 360w = \frac{{360{w^3} - 140}}{{{w^2}}}\]Bundan yagona muhim nuqta: \(w = \sqrt[3]{\frac{7}{18}} = 0.7299\).
E'tibor bering, \(w=0\) muhim nuqta bo'la olmaydi, chunki u erda funktsiya mavjud emas.
5-qadam
Hajm funksiyasining ikkinchi hosilasi:
\[C''\left( w \right) = \frac{{280}}{{{w^3}}} + 360\]Bundan ko'rishimiz mumkinki, ikkinchi hosila ijobiy \(w\) uchun har doim ijobiy bo'ladi (bu bizda har doim bo'ladi, chunki \(w\) qutining kengligi). Shuning uchun, \(w\) ijobiy bo'lsa, \(C\left( w \right)\) har doim konkav bo'ladi va shuning uchun biz 4-bosqichda olgan yagona kritik nuqta nisbiy minimal bo'lishi kerak va shuning uchun minimal xarajat beradigan qiymat bo'lishi kerak.
6-qadam
Endi qolgan o'lchamlarni olish bilan muammoni tugatamiz.
\[l = 6w = 4.3794\hspace{0.5in}h = \frac{{10}}{{3{{\left( {0.7299} \right)}^2}}} = 6.2568\]Yakuniy o'lchamlar keyin,
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{w = 0.7299\hspace{0.5in}\,l = 4.3794\hspace{0.5in}\,\,h = 6.2568}}\]