4.8-bo'lim : Optimallashtirish
5. Bizda 45 m2 kvadrat asosli va tepasi bo'lmagan qutini qurish uchun material. Yopiq hajmni maksimal darajada oshiradigan qutining o'lchamlarini aniqlang.
Yechim
Birinchi qadam muammoning tezkor eskizini qilishdir. Bu holatda biz eskizni o'tkazib yuborishimiz mumkin, ammo bu juda yomon odat. Ushbu muammolarning ko'pchiligi uchun eskiz haqiqatan ham qulaydir va u muammodagi ba'zi muhim ma'lumotlarni kuzatib borish va muammoning o'zgaruvchilarini "aniqlash" uchun ishlatilishi mumkin.
Mana bu muammoning eskizi.
2-qadam
Keyinchalik, bizdan optimallashtirish so'raladigan cheklov va tenglamani o'rnatishimiz kerak.
Bizga 45 m borligini aytishdi2 qutini qurish uchun material va shuning uchun cheklov. Qutini qurish uchun bizga kerak bo'lgan material miqdori,
\[45 = lw + 2\left( {lh} \right) + 2\left( {wh} \right) = {w^2} + 2wh + 2wh = {w^2} + 4wh\]E'tibor bering, yuqori belgi yo'qligi sababli, birinchi atama ikkinchi va uchinchi muddatdagi 2 ga ega bo'lmaydi. Bunday narsalar bilan ehtiyot bo'ling, agar e'tibor bermasangiz, uni o'tkazib yuborish oson.
Bizdan tovushni maksimal darajaga ko'tarish so'raladi, shunda tenglama, \[V = lwh = {w^2}h\]Shuni ham yodda tutingki, biz oldinga bordik va tenglamadagi uchta o'zgaruvchini ikkita o'zgaruvchiga kamaytirish uchun ikkala tenglamada \(l = w\) faktidan foydalandik.
3-qadam
Keling, \(h\) uchun cheklovni hal qilaylik (bu bizga ildizlar bilan ishlashdan qochish imkonini beradi, shuningdek, cheklovda faqat bitta \(h\) mavjud, shuning uchun uni hal qilish osonroq bo'ladi).
\[h = \frac{{45 - {w^2}}}{{4w}}\]Buni ovoz balandligi formulasiga ulash quyidagini beradi:
\[V\left( w \right) = {w^2}\left( {\frac{{45 - {w^2}}}{{4w}}} \right) = \frac{1}{4}w\left( {45 - {w^2}} \right) = \frac{1}{4}\left( {45w - {w^3}} \right)\]4-qadam
Buning uchun muhim nuqta(lar)ni topish hozir unchalik qiyin bo'lmasligi kerak, shuning uchun bu ish.
\[V'\left( w \right) = {\frac{1}{4}}\left( {45 - 3{w^2}} \right)\hspace{0.5in} \to \hspace{0.5in}\,{\frac{1}{4}}\left( {45 - 3{w^2}} \right) = 0\hspace{0.5in} \to \hspace{0.5in}w = \pm \sqrt {\frac{45}{3}} = \pm \sqrt {15} \]Biz qutining o'lchamlari bilan shug'ullanayotganimiz sababli, salbiy kenglik hech qanday ma'noga ega emas va shuning uchun biz bu erda foydalanishimiz mumkin bo'lgan yagona muhim nuqta: \(w = \sqrt {15} \).
Bu erda ehtiyot bo'ling va faqat salbiy qadriyatlarni yo'q qilish odatiga kirmang. Bu holatda uni yo'q qilishning yagona sababi jismoniy sabablarga ko'ra. Agar biz hech qanday jismoniy asossiz tenglamalarni bergan bo'lsak, u ishning qolgan qismiga kiritilishi kerak edi!
5-qadam
Hajm funksiyasining ikkinchi hosilasi:
\[V''\left( w \right) = - \frac{3}{2}w\]Bundan biz ikkinchi hosila musbat \(w\) uchun har doim manfiy ekanligini ko'rishimiz mumkin (bu bizda har doim bo'ladi, chunki \(w\) qutining kengligi). Shuning uchun, \(w\) ijobiy bo'lsa, \(V\left( w \right)\) har doim bo'g'iq bo'ladi va shuning uchun biz 4-bosqichda olgan yagona kritik nuqta nisbiy maksimal bo'lishi kerak va shuning uchun maksimal hajmni beradigan qiymat bo'lishi kerak.
6-qadam
Endi qolgan o'lchamlarni olish bilan muammoni tugatamiz.
\[l = w = \sqrt {15} = 3.8730\hspace{0.5in}h = \frac{{45 - 15}}{{4\sqrt {15} }} = 1.9365\]Yakuniy o'lchamlar keyin,
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{l = w = 3.8730\hspace{0.5in}h = 1.9365}}\]