Asosiy tarkibga o'tish

4.8-bo'lim : Optimallashtirish

4. Biz to'rtburchak maydonda panjara o'rnatamiz. Agar biz maydonga yuqoridan qaraydigan bo'lsak, vertikal tomonlarning narxi 10 dollar / fut, pastki qismining narxi 2 dollar / fut va yuqori qismining narxi 7 dollar / fut. Agar bizda 700 dollar bo'lsa, yopiq maydonni maksimal darajada oshiradigan maydonning o'lchamlarini aniqlang.

Yechim

Birinchi qadam muammoning tezkor eskizini qilishdir. Bu holatda biz eskizni o'tkazib yuborishimiz mumkin, ammo bu juda yomon odat. Ushbu muammolarning ko'pchiligi uchun eskiz haqiqatan ham qulaydir va u muammodagi ba'zi muhim ma'lumotlarni kuzatib borish va muammoning o'zgaruvchilarini "aniqlash" uchun ishlatilishi mumkin.

Mana bu muammoning eskizi.

A sketch of the rectangular field seen from above. The width along the bottom is labeled \(x\) and the height of the right side is labeled \(y\). The cost of each side is marked outside it, $7 per foot along the top, $2 per foot along the bottom and $10 per foot on each of the left and right sides.
2-qadam

Keyinchalik, bizdan optimallashtirish so'raladigan cheklov va tenglamani o'rnatishimiz kerak.

Bizga aytishlaricha, bizda 700 dollar sarflashimiz kerak, shuning uchun materialning narxi bu muammo uchun cheklov bo'ladi. Keyin materialning narxi,

\[700 = 10y + 2x + 10y + 7x = 20y + 9x\]

Bizdan maydonni maksimal darajaga ko'tarish so'raladi, shunda tenglama,

\[A = xy\]
3-qadam

Keling, \(y\) uchun cheklovni hal qilaylik (bu unda faqat bitta kasrga ega va shuning uchun "osonroq" bo'lishi mumkin ...).

\[y = 35 - \frac{9}{20}x\]

Buni maydon formulasiga ulang,

\[A\left( x \right) = x\left( {35 - \frac{9}{20}x} \right) = 35x - \frac{9}{20}{x^2}\]
4-qadam

Buning uchun muhim nuqta(lar)ni topish hozir unchalik qiyin bo'lmasligi kerak, shuning uchun bu ish.

\[A'\left( x \right) = 35 - \frac{9}{10}x\hspace{0.5in} \to \hspace{0.5in}35 - \frac{9}{10}x = 0\hspace{0.5in} \to \hspace{0.5in}x = \frac{350}{9}\]
5-qadam

Maydon funktsiyasining ikkinchi hosilasi:

\[A''\left( x \right) = - \frac{9}{10}\]

Bundan ko'rishimiz mumkinki, ikkinchi hosila har doim manfiy bo'ladi va shuning uchun \(A\left( x \right)\) har doim bo'g'iq bo'ladi va shuning uchun biz 4-bosqichda olgan yagona kritik nuqta nisbiy maksimal bo'lishi kerak va shuning uchun maksimal maydonni beradigan qiymat bo'lishi kerak.

6-qadam

Endi ikkinchi o'lchovni olish bilan muammoni tugatamiz.

\[y = 35 - \frac{9}{20}\left( \frac{350}{9} \right) = \frac{35}{2}\]

Yakuniy o'lchamlar keyin,

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x = \frac{350}{9}\hspace{0.5in}y = \frac{35}{2}}}\]