4.8-bo'lim : Optimallashtirish
3. \(x\) va \(y\) ikkita musbat son bo'lsin, shunday qilib \(x + 2y = 50\) va \(\left( {x + 1} \right)\left( {y + 2} \right)\) maksimal bo'lsin.
Yechim
Bu holatda bizga muammoda cheklov berildi,
\[x + 2y = 50\]Bizga maksimallashtirish uchun tenglama aytilgan,
\[f = \left( {x + 1} \right)\left( {y + 2} \right)\]Shunday qilib, keling, \(x\) yoki \(y\) uchun cheklovni hal qilaylik (kasrlardan qochish uchun \(x\) uchun hal qilamiz ...) va buni mahsulot tenglamasiga kiritamiz.
\[x = 50 - 2y\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}f\left( y \right) = \left( {50 - 2y + 1} \right)\left( {y + 2} \right) = \left( {51 - 2y} \right)\left( {y + 2} \right) = 102 + 47y - 2{y^2}\]2-qadam
Keyingi qadam bu tenglama uchun kritik nuqtalarni aniqlashdir.
\[f'\left( y \right) = 47 - 4y\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}47 - 4y = 0\hspace{0.5in} \to \hspace{0.5in}y = \frac{{47}}{4}\]3-qadam
Endi ko'pchilik bu qadamni keraksiz deb e'tiborsiz qoldiradi. Biz bitta qiymatga ega bo'lganimiz sababli, bu maksimal mahsulot beradi deb o'ylamaymiz. Maksimal ko'rsatkichni beradimi yoki yo'qligini aniqlash uchun biz tezda tekshirishimiz kerak.
Eslatmalarda muhokama qilinganidek, buni amalga oshirishning bir necha usullari mavjud, ammo bu holda biz buni tezda ko'rishimiz mumkin,
\[f''\left( y \right) = - 4\]Bundan ko'rishimiz mumkinki, ikkinchi hosila har doim manfiy bo'ladi va shuning uchun \(f\left( y \right)\) har doim bo'g'iq bo'ladi va shuning uchun biz 2-bosqichda olgan yagona kritik nuqta nisbiy maksimal bo'lishi kerak va shuning uchun maksimalni beradigan qiymat bo'lishi kerak.
4-qadam
Va nihoyat, keling, aslida savolga javob beraylik. Biz ikkala qiymatni ham berishimiz kerak. Bizda allaqachon \(y\) bor, shuning uchun biz \(x\)ni aniqlashimiz kerak va buni cheklovdan qilish oson.
\[x = 50 - 2\left( {\frac{{47}}{4}} \right) = \frac{{53}}{2}\]Oxirgi javob shundan iboratki,
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x = \frac{{53}}{2}\hspace{0.5in}y = \frac{{47}}{4}}}\]