4.8-bo'lim : Optimallashtirish
2. Ko‘paytmasi 750 bo‘lgan, birining yig‘indisi va ikkinchisining 10 barobari minimal bo‘lgan ikkita musbat sonni toping.
Yechim
Birinchi qadam bu vaziyatni tavsiflovchi tenglamalarni yozishdir.
Keling, \(x\) va \(y\) ikkita raqamga qo'ng'iroq qilaylik va bizga mahsulot 750 ekanligini aytishdi (bu muammo uchun cheklov) yoki,
\[xy = 750\]Keyin bizdan birining yig'indisini va boshqasini 10 marta kamaytirishni so'rashadi,
\[S = x + 10y\]E'tibor bering, qaysi biri \(x\) va qaysi biri \(y\) ekanligi haqida qayg'urmaydi, shuning uchun biz 10 ga ko'paytiriladigan \(y\) ni tanladik.
2-qadam
Endi biz \(x\) yoki \(y\) uchun cheklovni hal qilishimiz kerak (va bu holda qaysi o‘zgaruvchini hal qilishimiz muhim emas) va uni mahsulot tenglamasiga kiritishimiz kerak.
\[x = \frac{{750}}{y}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}S\left( y \right) = \frac{{750}}{y} + 10y\]3-qadam
Keyingi qadam bu tenglama uchun kritik nuqtalarni aniqlashdir.
\[S'\left( y \right) = - \frac{{750}}{{{y^2}}} + 10\hspace{0.5in} \to \hspace{0.5in} - \frac{{750}}{{{y^2}}} + 10 = 0\hspace{0.5in} \to \hspace{0.5in}y = \pm \sqrt {75} = 5\sqrt 3 \]Bizga \(y\) ijobiy bo'lishi kerakligi aytilganligi sababli, biz salbiy qiymatni yo'q qila olamiz va shuning uchun biz ushbu bosqichdan chiqadigan yagona qiymat: \(y = \sqrt {75} = 5\sqrt 3 \).
4-qadam
Endi ko'pchilik bu qadamni keraksiz deb e'tiborsiz qoldiradi. Bitta qiymatga ega bo'lganimiz sababli, bu minimal miqdorni beradi deb taxmin qila olmaymiz. Minimalni beradimi yoki yo'qligini bilish uchun biz tezda tekshirishimiz kerak.
Eslatmalarda muhokama qilinganidek, buni amalga oshirishning bir necha usullari mavjud, ammo bu holda biz buni tezda ko'rishimiz mumkin,
\[S''\left( y \right) = \frac{{1500}}{{{y^3}}}\]Bundan shuni ko'rishimiz mumkinki, agar \(y\) ijobiy ekanligini eslasak, ikkinchi hosila har doim ijobiy bo'ladi. Shuning uchun, \(S\left( y \right)\) har doim konkav bo'ladi va shuning uchun biz foydalanishimiz mumkin bo'lgan 3-bosqichdagi yagona kritik nuqta nisbiy minimal bo'lishi kerak va shuning uchun minimal summani beradigan qiymat bo'lishi kerak.
5-qadam
Va nihoyat, keling, aslida savolga javob beraylik. Biz ikkala qiymatni ham berishimiz kerak. Bizda allaqachon \(y\) bor, shuning uchun biz \(x\)ni aniqlashimiz kerak va buni cheklovdan qilish oson.
\[x = \frac{{750}}{{5\sqrt 3 }} = 50\sqrt 3 \]Oxirgi javob shundan iboratki,
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x = 50\sqrt 3 \hspace{0.5in}y = 5\sqrt 3 }}\]