4.13-bo'lim : Nyuton usuli
6. \(2 - {x^2} = \sin \left( x \right)\) ning barcha ildizlarini oltita kasrgacha aniq topish uchun Nyuton usulidan foydalaning.
Yechim
Birinchidan, Nyuton usuli \(f\left( x \right) = 0\) ko'rinishidagi tenglamani yechishini eslang va shuning uchun biz hamma narsani bir tomonga siljitishimiz kerak. Shunday qilib,
\[f\left( x \right) = 2 - {x^2} - \sin \left( x \right)\]E'tibor bering, biz boshqa yo'nalishga osongina o'tishimiz mumkin edi. Quyidagi ishda funksiya va hosilaviy baholash belgilarini o'zgartirish kifoya edi. Biroq, yakuniy javoblar o'zgartirilmaydi.
Keyinchalik, bizga \({x_{\,0}}\) boshlang'ich qiymati berilmaydi va yuqoridagi 3 va 4-masalalardan farqli o'laroq, bizga \({x_{\,0}}\) ning yaxshi mumkin bo'lgan qiymatini aniqlash usuli sifatida foydalanish uchun interval ham berilmagan. Shuningdek, bizga qancha ildiz topishimiz kerakligi aytilmagan.
Shunday qilib, tenglamaning ildizlari sonini taxmin qilish uchun keling, tenglamaning har bir tomonini ko'rib chiqamiz va har bir ildiz tenglik belgisining chap va o'ng tomonidagi ikkita egri chiziqning kesishish nuqtasi bo'lishini tushunamiz.
Asl tenglamaning chap tomoni kvadrat bo'lib, uning uchi \(x = 2\) da bo'ladi va pastga qarab ochiladi, o'ng tomoni esa sinus funktsiyadir. Ushbu ikki funktsiya haqida bilganimizni hisobga olsak, kvadratik pastga qarab sinus funktsiya bilan kesishadigan eng ko'p ikkita ildiz bo'lishini kutishimiz kerak. Kvadrat hech qachon aylanmaydi va yuqoriga qarab harakatlana boshlamaydi, chunki u bu nuqtalardan keyin hech qachon sinus funktsiyasi bilan kesishmasligi kerak.
Shunday qilib, keling, bu boradagi intuitsiyamiz to'g'ri yoki yo'qligini bilish uchun kvadrat va sinus funktsiyaning grafigini tuzamiz. Shunday qilib,
Shunday qilib, biz to'g'ri taxmin qildik va bu erda ikkita ildiz bo'lishi kerak.
Har bir ildiz uchun biz izlayotgan ildizga yaqin bo'lgan \({x_{\,0}}\) qiymatini tanlash uchun grafikdan foydalanamiz (muammo uchun chapdan o'ngga o'tamiz) va keyin Nyuton usulidan o'tamiz,
\[{x_{n + 1}} = {x_n} - \frac{{f\left( {{x_n}} \right)}}{{f'\left( {{x_n}} \right)}}\]javoblar olti kasrga mos kelguncha.
Shuni ham yodda tutingki, 3 va 4-muammolardan farqli o'laroq, biz ushbu muammo uchun barcha funktsiyalarni baholashni kiritmaymiz. Har bir iteratsiya uchun yakuniy javoblarimizni tekshirish va tasdiqlashni sizga qoldiramiz.
Shuni ham yodda tutingki, ildizlar sonini hisoblash uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan tahlil bu turdagi muammolar uchun bajarilishi kerak bo'lgan narsadir va u har bir tenglama uchun farq qiladi. Ammo, agar siz asosiy funktsiyalarning ko'pchiligi qanday ishlashi haqida asosiy ma'lumotga ega bo'lsangiz, buni sizdan ko'rib chiqilishi so'raladigan tenglamalar uchun qilishingiz mumkin.
2-qadam
Eng chap ildiz uchun \({x_{\,0}} = - 1.5\) dan boshlaylik. Mana bu ildiz uchun Nyuton usuli orqali takrorlash natijalari.
\[\begin{align*}{x_{\,1}} & = {x_{\,0}} - \frac{{f\left( {{x_{\,0}}} \right)}}{{f'\left( {{x_{\,0}}} \right)}} = - 1.755181948 & \hspace{0.5in} & {\mbox{No decimal places agree}}\\ {x_{\,2}} & = {x_{\,1}} - \frac{{f\left( {{x_{\,1}}} \right)}}{{f'\left( {{x_{\,1}}} \right)}} = - 1.728754674 & \hspace{0.5in} & {\mbox{Accurate to one decimal place}}\\ {x_{\,3}} & = {x_{\,2}} - \frac{{f\left( {{x_{\,2}}} \right)}}{{f'\left( {{x_{\,2}}} \right)}} = - 1.728466353 & \hspace{0.5in} & {\mbox{Accurate to three decimal places}}\\ {x_{\,4}} & = {x_{\,3}} - \frac{{f\left( {{x_{\,3}}} \right)}}{{f'\left( {{x_{\,3}}} \right)}} = - 1.728466319 & \hspace{0.5in} & {\mbox{Accurate to seven decimal places}}\end{align*}\]Shunday qilib, eng chap ildizning taxminiy qiymati quyidagicha ko'rinadi: \(\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x \approx - 1.728466319}}\).
3-qadam
Eng to'g'ri ildiz uchun \({x_{\,0}} = 1\) dan boshlaylik. Mana bu ildiz uchun Nyuton usuli orqali takrorlash natijalari.
\[\begin{align*}{x_{\,1}} & = {x_{\,0}} - \frac{{f\left( {{x_{\,0}}} \right)}}{{f'\left( {{x_{\,0}}} \right)}} = 1.062405571 & \hspace{0.5in} & {\mbox{No decimal places agree}}\\ {x_{\,2}} & = {x_{\,1}} - \frac{{f\left( {{x_{\,1}}} \right)}}{{f'\left( {{x_{\,1}}} \right)}} = 1.061549933 & \hspace{0.5in} & {\mbox{Accurate to two decimal places}}\\ {x_{\,3}} & = {x_{\,2}} - \frac{{f\left( {{x_{\,2}}} \right)}}{{f'\left( {{x_{\,2}}} \right)}} = 1.061549775 & \hspace{0.5in} & {\mbox{Accurate to six decimal places}}\end{align*}\]Shunday qilib, eng to'g'ri ildizning taxminiy qiymati quyidagicha ko'rinadi: \(\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x \approx 1.061549775}}\).
4-qadam
Hisoblash vositalaridan foydalanib, biz ushbu tenglamaning haqiqiy ildizlari ekanligini aniqladik,
\[x = - 1.72846631899718\hspace{0.5in}x = 1.06154977463138\]E'tibor bering, ular aslida muammoda so'ralmagan va faqat taqqoslash uchun berilgan.
Nyuton usuli haqida so'nggi ogohlantirish sifatida, bir nechta takrorlash bilan oltita (yoki ba'zi hollarda yaxshiroq) o'nlik kasrni olasiz deb o'ylamang.
Ushbu muammolar usulning bir necha iteratsiyasini talab qilishini anglagan holda tanlangan. \({x_{\,0}}\) muammolari va/yoki tanlovlari mavjud bo'lib, ular uchun har qanday haqiqiy aniqlikni olish uchun sezilarli darajada ko'proq iteratsiya kerak bo'ladi, agar usul ushbu tenglama va/yoki \({x_{\,0}}\) ni tanlash uchun ham ishlaydi. Eslatib o'tamiz, biz eslatmalarda usulning ajoyib tarzda muvaffaqiyatsizlikka uchragan misolini ko'rdik.