4.13-bo'lim : Nyuton usuli
4. \(2{x^2} + 5 = {{\bf{e}}^x}\) ning ildizini \(\left[ {3,4} \right]\) oralig'ida oltita kasrgacha aniq topish uchun Nyuton usulidan foydalaning.
Yechim
Birinchidan, Nyuton usuli \(f\left( x \right) = 0\) ko'rinishidagi tenglamani yechishini eslang va shuning uchun biz hamma narsani bir tomonga siljitishimiz kerak. Shunday qilib,
\[f\left( x \right) = 2{x^2} + 5 - {{\bf{e}}^x}\]E'tibor bering, biz boshqa yo'nalishga osongina o'tishimiz mumkin edi. Quyidagi ishda funksiya va hosilaviy baholash belgilarini o'zgartirish kifoya edi. Biroq, yakuniy javoblar o'zgartirilmaydi.
Keyinchalik, bizga \({x_{\,0}}\) boshlang'ich qiymati berilmaydi, lekin bizga ildiz mavjud bo'lgan interval berildi, shuning uchun biz ushbu intervalning o'rta nuqtasini boshlang'ich nuqtamiz yoki \({x_{\,0}} = 3.5\) sifatida ishlatishimiz mumkin. E'tibor bering, bu biz foydalanishimiz mumkin bo'lgan yagona qiymat emas va agar siz boshqasini ishlatsangiz (bu mutlaqo qabul qilinadi), sizning qadriyatlaringiz bu yerdagilardan farq qiladi.
Bu vaqtda biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa Nyuton usulidan o'tishdir,
\[{x_{n + 1}} = {x_n} - \frac{{f\left( {{x_n}} \right)}}{{f'\left( {{x_n}} \right)}}\]javoblar olti kasrga mos kelguncha.
2-qadam
\({x_{\,1}}\) formulasi orqali birinchi iteratsiya:
\[{x_{\,1}} = {x_{\,0}} - \frac{{f\left( {{x_{\,0}}} \right)}}{{f'\left( {{x_{\,0}}} \right)}} = 3.5 - \frac{{ - 3.615451959}}{{ - 19.11545196}} = 3.310862334\]3-qadam
\({x_{\,2}}\) formulasi orqali ikkinchi iteratsiya:
\[{x_{\,2}} = {x_{\,1}} - \frac{{f\left( {{x_{\,1}}} \right)}}{{f'\left( {{x_{\,1}}} \right)}} = 3.310862334 - \frac{{ - 0.4851319992}}{{ - 14.16530146}} = 3.276614422\]Biz davom etishimiz kerak, chunki hatto birinchi kasr hali ham to'g'ri emas.
4-qadam
\({x_{\,3}}\) formulasi orqali ikkinchi iteratsiya:
\[{x_{\,3}} = {x_{\,2}} - \frac{{f\left( {{x_{\,2}}} \right)}}{{f'\left( {{x_{\,2}}} \right)}} = 3.276614422 - \frac{{ - 0.0135463486}}{{ - 13.37949281}} = 3.275601951\]Bu nuqtada biz ikkita kasrga aniqlik kiritamiz, shuning uchun biz davom etishimiz kerak.
5-qadam
\({x_{\,4}}\) formulasi orqali ikkinchi iteratsiya:
\[{x_{\,4}} = {x_{\,3}} - \frac{{f\left( {{x_{\,3}}} \right)}}{{f'\left( {{x_{\,3}}} \right)}} = 3.275601951 - \frac{{ - 0.00001152056596}}{{ - 13.356740003}} = 3.275601089\]Ushbu nuqtada biz 6 kasrga aniqlik kiritamiz, bu bizdan talab qilingan narsadir va shuning uchun biz rasman to'xtashimiz mumkin va biz intervaldagi ildizni taxmin qilishimiz mumkin,
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x \approx 3.275601089}}\]Hisoblash vositalaridan foydalanib, biz ushbu intervaldagi haqiqiy ildiz \(3.27560108884732\) ekanligini aniqladik. E'tibor bering, bu aslida muammoda so'ralmagan va faqat taqqoslash uchun berilgan va Nyuton usuli juda yaxshi ish qilganga o'xshaydi, chunki bu biz qilgan yakuniy iteratsiya bilan bir xil.