4.13-bo'lim : Nyuton usuli
3. \({x^4} - 5{x^3} + 9x + 3 = 0\) ning ildizini \(\left[ {4,6} \right]\) oralig'ida oltita kasrgacha aniq topish uchun Nyuton usulidan foydalaning.
Yechim
Birinchidan, Nyuton usuli tenglamani \(f\left( x \right) = 0\) ko'rinishida yechishini eslang va shuning uchun bizda (umid qilamanki) juda aniq:
\[f\left( x \right) = {x^4} - 5{x^3} + 9x + 3\]Keyinchalik, bizga \({x_{\,0}}\) boshlang'ich qiymati berilmaydi, lekin bizga ildiz mavjud bo'lgan interval berildi, shuning uchun biz ushbu intervalning o'rta nuqtasini boshlang'ich nuqtamiz yoki \({x_{\,0}} = 5\) sifatida ishlatishimiz mumkin. Shuni esda tutingki, bu biz foydalanishimiz mumkin bo'lgan yagona qiymat emas va agar siz boshqasini ishlatsangiz (bu mutlaqo qabul qilinadi), sizning qadriyatlaringiz bu yerdagilardan farq qiladi.
Bu vaqtda biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa Nyuton usulidan o'tishdir,
\[{x_{n + 1}} = {x_n} - \frac{{f\left( {{x_n}} \right)}}{{f'\left( {{x_n}} \right)}}\]javoblar olti kasrga mos kelguncha.
2-qadam
\({x_{\,1}}\) formulasi orqali birinchi iteratsiya:
\[{x_{\,1}} = {x_{\,0}} - \frac{{f\left( {{x_{\,0}}} \right)}}{{f'\left( {{x_{\,0}}} \right)}} = 5 - \frac{{48}}{{134}} = 4.641791045\]3-qadam
\({x_{\,2}}\) formulasi orqali ikkinchi iteratsiya:
\[{x_{\,2}} = {x_{\,1}} - \frac{{f\left( {{x_{\,1}}} \right)}}{{f'\left( {{x_{\,1}}} \right)}} = 4.641791045 - \frac{{8.950542057}}{{85.85891882}} = 4.537543959\]Biz davom etishimiz kerak, chunki hatto birinchi kasr hali ham to'g'ri emas.
4-qadam
\({x_{\,3}}\) formulasi orqali uchinchi iteratsiya:
\[{x_{\,3}} = {x_{\,2}} - \frac{{f\left( {{x_{\,2}}} \right)}}{{f'\left( {{x_{\,2}}} \right)}} = 4.537543959 - \frac{{0.6329967413}}{{73.85993168}} = 4.528973727\]Ushbu nuqtada biz birinchi kasrga aniqlik kiritamiz, shuning uchun biz davom etishimiz kerak.
5-qadam
\({x_{\,4}}\) formulasi orqali to'rtinchi iteratsiya:
\[{x_{\,4}} = {x_{\,3}} - \frac{{f\left( {{x_{\,3}}} \right)}}{{f'\left( {{x_{\,3}}} \right)}} = 4.528973727 - \frac{{0.004066133005}}{{72.91199944}} = 4.52891796\]Bu nuqtada biz 4 kasrga aniqlik kiritamiz, shuning uchun biz davom etishimiz kerak.
6-qadam
\({x_{\,5}}\) formulasi orqali beshinchi iteratsiya:
\[{x_{\,5}} = {x_{\,4}} - \frac{{f\left( {{x_{\,4}}} \right)}}{{f'\left( {{x_{\,4}}} \right)}} = 4.52891796 - \frac{{1.714694911*{{10}^{ - 7}}}}{{72.90585006}} = 4.52891796\]Ushbu nuqtada biz 8 kasrga aniqlik kiritamiz, bu biz so'raganimizdan yaxshiroq va shuning uchun biz rasman to'xtashimiz mumkin va biz intervaldagi ildizni taxmin qilishimiz mumkin,
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x \approx 4.52891796}}\]Hisoblash vositalaridan foydalanib, biz ushbu intervaldagi haqiqiy ildiz 4,52891795729 ekanligini aniqladik. E'tibor bering, bu aslida muammoda so'ralmagan va faqat taqqoslash uchun berilgan.