Keyinchalik, bizdan optimallashtirish so'raladigan cheklov va tenglamani o'rnatishimiz kerak.

Bizdan yuqorida ko'rsatilgan uchburchakning maydonini minimallashtirish so'raladi. Grafikda berilgan miqdorlar nuqtai nazaridan, maydon uchun tenglamani olish juda oson. Uchburchakning asosiy uzunligi \(a\), balandligi esa \(b\). Bizda bularning hech biri uchun qadriyatlarimiz yo'q, lekin bu muammo emas. Bu erda uchburchakning maydoni.

\[A = {\frac{1}{2}}ab\]

Bu holatda cheklov chiziqning tenglamasidir, chunki u uchburchakning gipotenuzasini aniqlaydi va shuning uchun ham uchburchakning asosini va balandligini beradi. Biz chiziq tenglamasini yozishimiz kerak, lekin bizda foydalanish mumkin bo'lgan chiziqda uchta nuqta bor. Shuni yodda tutingki, biz haqiqatan ham \(\left( {2,5} \right)\) dan nuqtalardan biri sifatida foydalanishimiz kerak, chunki chiziq nuqtaga borishi kerak va tenglamani yozish uchun bu nuqtadan foydalanish bizga qo'shimcha ish qilmasdan beradi.

Haqiqiy savol shundaki, biz chiziqning qiyaligini aniqlashda ikkinchi nuqta uchun \(x\) yoki \(y\)-kesishdan foydalanishimiz kerakmi? Qaysi nuqtadan foydalanganingiz muhim emas. Har bir nuqta uchun ish biroz boshqacha bo'ladi, lekin muammoning qiyinligida haqiqiy farq bo'lmaydi.

Ikkinchi nuqta uchun biz \(\left( {a,0} \right)\) dan foydalanamiz. Ushbu nuqtadan foydalangan holda chiziqning qiyaligi,

\[m = \frac{5}{{2 - a}}\]

Biz allaqachon bilamizki, \(b\) \(y\) kesmasidir va shuning uchun nuqtadan o'tadigan chiziq tenglamasi:

\[y = \frac{5}{{2 - a}}x + b\]

E'tibor bering, bizda bu erda muammo bor. Odatda bu nuqtada biz ikkita tenglama va ikkita noma'lumga ega bo'lamiz. Bu holda bizda to'rtta noma'lum ko'rinadi: \(a\), \(b\), \(x\) va \(y\). Bu muammo emas, shuningdek, keyingi bosqichda ko'ring.

Endi biz \(i\).e yoki \(a\) yoki \(b\) funksiyasidagi noma’lumlardan biri uchun cheklovni hal qilishimiz kerak. Biroq, yuqorida ta'kidlaganimizdek, tenglamada \(x\) va \(y\) ham mavjud bo'lib, ular tenglamada qolsa, muammolarni keltirib chiqaradi.

Ushbu bosqichning maqsadi maydon funktsiyasini bitta o'zgaruvchiga tushirishdir. Agar biz \(x\) va \(y\) ni chiziq tenglamasida qoldirsak, biz bitta emas, balki uchta o'zgaruvchiga ega bo'lgan maydon funktsiyasiga ega bo'lamiz va bu biz uchun ishlamaydi.

Bizga haqiqatan ham kerak bo'lgan narsa faqat \(a\) va \(b\) ni o'z ichiga olgan tenglama bo'lib, biz uni yoki boshqasini hal qilishimiz va maydon funksiyasiga ulanishimiz mumkin. Yaxshiyamki, buni olish oson. Buning uchun bizga \(x\)-kesishmasini chiziq tenglamasiga ulash kifoya,

\[0 = \frac{5}{{2 - a}}a + b\]

Nima uchun biz bu erda \(y\)-to'siqdan foydalana olmaganimizni tushunyapsizmi? Agar yo'q bo'lsa, uni rozetkaga ulang va nima uchun u ishlamayotganini tezda tushunasiz.

Ushbu nuqtada biz \(b\) uchun tenglamani osongina yecha olamiz,

\[b = - \frac{{5a}}{{2 - a}} = \frac{{5a}}{{a - 2}}\]

Minus belgilaridan birini yo'q qilish uchun biz qism oldidagi minus belgisini oldik va uni maxrajga qo'lladik va soddalashtirdik. Buni qilish shart emas, lekin ulardan birini yo'q qiladi.

E'tibor bering, agar biz qiyalikni aniqlash uchun \(y\)-kesishmasidan foydalanganimizda, bu bosqichda \(a\) ni hal qilish osonroq bo'lar edi. Nishabni topish uchun qaysi nuqtadan foydalanishdagi yagona haqiqiy farq bu.

Mayli, keling, bularning barchasini birlashtiraylik. Biz \(b\) qiymatini \(a\) nuqtai nazaridan bilamiz, shuning uchun uni olish uchun hudud funksiyasiga ulang,

\[A\left( a \right) = \frac{1}{2}\left( a \right)\left( {\frac{{5a}}{{a - 2}}} \right) = \frac{5}{2}\frac{{{a^2}}}{{a - 2}}\]

Bu maydon funksiyasining hosilasi,

\[A'\left( a \right) = \frac{5}{2}\frac{{{a^2} - 4a}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}} = \frac{5}{2}\frac{{a\left( {a - 4} \right)}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}\]

Bundan biz uchta potentsial kritik nuqtani olamiz: \(a = 0\), \(a = 2\) va \(a = 4\).

Biz \(a = 0\) dan kritik nuqta sifatida foydalana olmaymiz, chunki u endi \(x\) o'qi va \(y\) o'qi bilan uchburchak hosil qilmaydi, chunki muammo birinchi bosqichda qayd etilgan.

Ikki sababga ko'ra biz \(a = 2\) dan foydalana olmaymiz. Birinchidan, bu juda muhim nuqta emas, chunki \(a = 2\) da maydon funksiyasi mavjud emas. Bu ajablanarli emas, chunki agar biz ushbu nuqtadan foydalansak, baribir bizda uchburchak bo'lmaydi (yana birinchi bosqichda ta'kidlaganimizdek) va bu ham uni ishlatmaslikning ikkinchi sababidir.

Bu biz foydalanishimiz mumkin bo'lgan potentsial tanqidiy nuqta sifatida faqat \(a = 4\) ni qoldiradi.

Maydon funktsiyasining ikkinchi hosilasi (bir oz soddalashtirilgandan keyin)

\[A''\left( a \right) = \frac{{20}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^3}}}\]

Bundan ko'ramizki, bizda \(a > 2\) bo'lsa, ikkinchi hosila har doim ijobiy bo'ladi. Biroq, birinchi bosqichda ta'kidlaganimizdek, bu muammoni hal qilish uchun kerak. Shuning uchun, ikkinchi hosila biz ishlayotgan \(a\) diapazoni uchun har doim ijobiy bo'ladi. Maydon funksiyasi \(a\) diapazoni uchun har doim konkav bo'ladi va \(a = 4\) minimal maydonni berishi kerak.

Endi biz \(a\) qiymatini bilganimizdan so'ng, qiyalik va \(y\) kesishuvi,

\[m = \frac{5}{{2 - 4}} = - \frac{5}{2}\hspace{0.5in}\hspace{0.5in}b = \frac{{5\left( 4 \right)}}{{4 - 2}} = 10\]

U holda chiziq tenglamasi,

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{y = - \frac{5}{2}x + 10}}\]