MoreOptimization - 4-masala yechimi | MathModel.uz

4.9-bo'lim : Ko'proq optimallashtirish

4. 80 sm uzunlikdagi sim ikki qismga bo'linadi. Bir bo'lak teng qirrali uchburchakka egiladi, ikkinchisi esa bir tomoni boshqa tomonining uzunligidan 4 barobar ko'p bo'lgan to'rtburchaklar shaklida egiladi. Ikkala raqam bilan o'ralgan maydonni maksimal darajada oshirish uchun simni qayerda kesish kerakligini aniqlang.

Yechim

Eskizni chizishdan oldin biz biroz sozlashimiz kerak. Faraz qilaylik, to'rtburchakka o'tadigan sim bo'lagining uzunligi $x$. Bu uchburchakka boradigan simning uzunligi $80 - x$ ekanligini anglatadi.

Biz bilamizki, uchburchakning har bir tomonining uzunligi teng va shuning uchun ${\frac{1}{3}}\left( {80 - x} \right)$ uzunligi bo'lishi kerak. Biz shuningdek, uchburchakning ichki burchaklari ${\frac{\pi}{3}}$ ekanligini va shuning uchun uchburchakning balandligi ${\frac{1}{3}}\left( {80 - x} \right)\sin \left( {{\frac{\pi}{3}}} \right) = \frac{\sqrt{3}}{6} \left( {80 - x} \right)$ ekanligini bilamiz.

To'rtburchak uchun kichik tomonining uzunligi $L$ va katta tomonining uzunligi 4$L$ deb faraz qilaylik. Keyinchalik, biz to'rtburchakning umumiy perimetri $x$ ekanligini bilamiz va shuning uchun bizda bo'lishi kerak,

\[x = 2\left( L \right) + 2\left( {4L} \right) = 10L\hspace{0.5in} \to \hspace{0.5in}L = \frac{x}{10} \]

Endi bizda $x$ bo'yicha barcha turli uzunlikdagi raqamlar mavjud (bu bu erda ishni biroz osonlashtiradi), keling, quyidagi rasm bilan hamma narsani umumlashtiramiz.

$A sketch of the 80 cm piece of wire and the two figures made from it. Across the top is a horizontal line labeled 80 cm representing the whole wire, and below it the wire is divided into a left piece of length $x$ and a right piece of length $80 - x$. Below the left piece is the rectangle made from it, with a short vertical side labeled $\frac{x}{10}$ and a long horizontal side labeled $\frac{2x}{5}$. Below the right piece is the equilateral triangle made from it, with its base labeled $\frac{1}{3}\left( {80 - x} \right)$ and a dashed vertical line from the top vertex down to the base labeled as the height $\frac{\sqrt 3 }{6}\left( {80 - x} \right)$.$

2-qadam

Keyinchalik, bizdan optimallashtirish so'raladigan cheklov va tenglamani o'rnatishimiz kerak.

Bu bizda ishlash uchun cheklovchi tenglamaga ega bo'lmagan holatlardan biridir. Cheklov - bu simning uzunligi (80 sm), lekin biz yuqoridagi raqamimizni o'rnatganimizda buni hisobga oldik, bu holda bu bilan hech qanday aloqasi yo'q.

Bizdan ikkita raqamning yopiq maydonini maksimal darajada oshirishni so'rashadi va shuning uchun bu erda yopiq raqamlarning umumiy maydoni.

\[A\left( x \right) = \left( \frac{x}{10} \right)\left( \frac{2x}{5} \right) + {\frac{1}{2}}\left[ {{\frac{1}{3}}\left( {80 - x} \right)} \right]\left[ \frac{\sqrt{3}}{6} {\left( {80 - x} \right)} \right] = \frac{x^{2}}{25} + \frac{\sqrt{3}}{36} {\left( {80 - x} \right)^2}\]

3-qadam

Buning uchun muhim nuqta(lar)ni topish hozir unchalik qiyin bo'lmasligi kerak (garchi Algebra biroz chalkash bo'lsa ham). Mana lotin.

\[A'\left( x \right) = \frac{2x}{25} - \frac{\sqrt{3}}{18} \left( {80 - x} \right)\]

Bundan biz bitta muhim nuqtaga o'xshaymiz,

\[x=\frac{\frac{40\sqrt{3}}{9}}{\frac{2}{25}+\frac{\sqrt{3}}{18}}=43.6828\]

4-qadam

Maydon funktsiyasining ikkinchi hosilasi:

\[A''\left( x \right) = \frac{2}{25} + \frac{\sqrt{3}}{18} \]

Bundan biz ikkinchi hosila har doim ijobiy ekanligini ko'rishimiz mumkin. Shuning uchun $A\left( x \right)$ har doim konkav bo'ladi va shuning uchun biz 4-bosqichda olgan yagona kritik nuqta nisbiy minimal bo'lishi kerak va shuning uchun $x$ qiymati bo'lishi kerak (i.e. kesish nuqtasi) minimal yopiq maydonni beradi.

Ammo bu muammo, chunki bizdan maksimal yopiq maydon so'ralgan. Bu biz oxirgi ikki bo'limda ishlagan har bir muammoda ushbu qadamning sababidir. Talabalar juda tez-tez shu nuqtaga etib kelishadi, bitta javob olishadi va keyin bu to'g'ri javob bo'lishi kerak deb taxmin qilishadi va bu to'g'ri javob yoki yo'qligini tekshirish uchun hech qanday tekshiruvdan o'tishmaydi.

Axir, bitta qiymat bor edi, shuning uchun uning to'g'ri bo'lishi uchun tanlov yo'q. To'g'rimi? Xo'sh, yo'q. Bu erda ko'rib turganimizdek, bu to'g'ri javob emas.

5-qadam

Xo'sh, nima qilish kerak? Bizdan so'ralgan muammoli bayonotni eslaymiz,

“Qaerni aniqlang, har qanday joyda bo'lsa, ikkita raqam bilan o'ralgan maydonni maksimal darajada oshirish uchun simni kesish kerak.

"Agar biron bir joyda" bo'limi biz uni umuman kesishni xohlamasligimizni ko'rsatmoqda. Ehtimol, barcha simlar to'rtburchakka (yuqoridagi $x = 80$ ga mos keladi) yoki barcha simlar uchburchakka (yuqoridagi $x = 0$ ga to'g'ri keladi) o'tishi kerak.

Shunday qilib, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa $x = 80$ va $x = 0$ ni maydon funksiyasiga ulash va qaysi biri eng katta maydonni berishini aniqlashdir.

\[\begin{align*}A\left( 0 \right) &= 307.92 & \hspace{0.75in} & {\mbox{All wire goes to triangle.}}\\ A\left( {43.6828} \right) & = 139.785&\hspace{0.75in} & {\mbox{Wire goes to both triangle and rectangle.}}\\ A\left( {80} \right) & = 256 & \hspace{0.75in} & {\mbox{All wire goes to rectangle}}\end{align*}\]

E'tibor bering, biz yuqoridagi muhim nuqtani, bu haqiqatan ham maksimal maydonni bermasligini aniq ko'rsatish uchun kiritdik. Biz buni bu yerga kiritishimiz shart emas edi, chunki bu biz uchun ishlamasligini allaqachon bilardik.

Yuqoridagi funktsiyani baholashdan ko'rinib turibdiki, maksimal maydonni olish uchun barcha simlarni olib, uni teng tomonli uchburchakka egishimiz kerak.