4.9-bo'lim : Ko'proq optimallashtirish
2. Radiusi 1 bo‘lgan aylana ichiga chizilgan eng katta to‘rtburchakning maydonini aniqlang.
Yechim
Keling, aylana va to'rtburchakning tezkor eskizini bilan boshlaylik. Bundan tashqari, ishni biroz osonlashtirish uchun biz oldinga bordik va aylana standart \(xy\)-koordinata tizimining kelib chiqishida joylashgan deb taxmin qildik.
Biz birinchi kvadrantda \(\left( {x,y} \right)\) nuqtasini ham aniqladik. Bu biz muammolarga duch kelganimizda topishga harakat qiladigan nuqta. Agar biz ushbu nuqtaning koordinatalarini bilsak, rasmda ko'rsatilganidek, nuqta tomonidan aniqlangan to'rtburchak eng katta maydonga ega bo'ladi.
2-qadam
Keyinchalik, bizdan optimallashtirish so'raladigan cheklov va tenglamani o'rnatishimiz kerak.
Yuqoridagi grafamizni hisobga olsak, biz aylana tenglamasini osongina aniqlashimiz mumkin. Bu ham muammoning cheklanishi bo'ladi, chunki to'rtburchakning burchaklari aylanada bo'lishi kerak.
\[{x^2} + {y^2} = 1\]Shuni ham yodda tutingki, rasm yoki tenglamadan biz \( - 1 \le x \le 1\) va \( - 1 \le y \le 1\) ekanligini aniq ko'rishimiz mumkin. ushbu limitlardan biri yoki ikkalasi muammoni keyinroq hal qilishda foydali bo'ladi.
Bizdan to'rtburchaklar miqdorini maksimal darajaga ko'tarish so'raladi va biz yuqoridagi rasmda ko'rib turgan ta'riflardan foydalanib, ushbu sohada,
\[A = \left( {2x} \right)\left( {2y} \right) = 4xy\]3-qadam
Biz \(x\) yoki \(y\) uchun cheklovni hal qilishimiz mumkin. Ikkalasi ham xuddi shunday ishni olib boradi, shuning uchun biz \(x\) ni hal qilamiz.
\[x = \pm \sqrt {1 - {y^2}} \]Chunki biz aylanadagi nuqtani 1 da bo'lishini belgilab oldikst kvadrant biz buning "+" qismini ishlatamiz. Buni hudud funksiyasiga ulash,
\[A\left( y \right) = 4y\sqrt {1 - {y^2}} \]4-qadam
Buning uchun muhim nuqta(lar)ni topish hozircha unchalik qiyin bo'lmasligi kerak. Mana lotin.
\[A'\left( y \right) = 4\sqrt {1 - {y^2}} - \frac{{4{y^2}}}{{\sqrt {1 - {y^2}} }} = \frac{{4 - 8{y^2}}}{{\sqrt {1 - {y^2}} }}\]Bundan ko'rinib turibdiki, numeratordan biz tanqidiy fikrlarni olamiz,
\[y = \pm \sqrt {{\frac{1}{2}}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm 0.7071\]Maxrajdan biz kritik nuqtalarni olamiz: \(y = \pm 1\) va ha bular kritik nuqtalar, chunki funksiya shu nuqtalarda mavjud bo'ladi.
Keyingi bosqichga o'tishdan oldin shuni ta'kidlaymizki, bizning nuqtamiz birinchi kvadrantda bo'lgani uchun biz \(y\) ijobiy bo'lishi kerakligini bilamiz. Bu fakt 2-bosqichda muhokama qilgan \(y\) limitlari bilan bir qatorda bizda \(0 \le y \le 1\) bo'lishi kerakligini aytadi.
Bu, o'z navbatida, biz tashvishlanishimiz kerak bo'lgan ikkita muhim jihatni ko'rsatadi:
\[y = \frac{1}{\sqrt{2}} = 0.7071\hspace{0.5in}y = 1\]5-qadam
Bizda mumkin bo'lgan muhim nuqtalar oralig'i borligi sababli, maksimal maydonni aniqlash uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - oxirgi nuqtalarni va muhim nuqtalarni hududga ulash.
\[A\left( 0 \right) = 0\hspace{0.5in}A\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 2\hspace{0.5in}A\left( 1 \right) = 0\]6-qadam
Shunday qilib, aylanaga chizilishi mumkin bo'lgan eng katta to'rtburchakning maydoni: 2.