MinMaxValues - 4-masala yechimi | MathModel.uz

4.3-bo'lim : Minimal va maksimal qiymatlar

4. $h\left( x \right) = - {\left( {x + 4} \right)^3}$ grafigini chizing va quyidagi oraliqlarning har birida funksiyaning barcha nisbiy ekstremal va mutlaq ekstremallarini aniqlang.

$\left( { - \infty ,\infty } \right)$
$\left[ { - 5.5, - 2} \right]$
$\left[ { - 4, - 3} \right)$
$\left[ { - 4, - 3} \right]$

a $\left( { - \infty ,\infty } \right)$ Yechim

Mana intervaldagi funksiyaning grafigi.

$The graph of $h\left( x \right) = - {\left( {x + 4} \right)^3}$ on the interval $\left( { - \infty ,\infty } \right)$. It is the graph of ${x^3}$ reflected about the x-axis and shifted 4 units to the left, so it comes down from the upper left, flattens out as it passes through $\left( { - 4,0} \right)$ and then continues down to the lower right. Arrows on both ends show that it continues without bound in both directions.$

Ushbu grafikni eslang transformatsiyalar grafiklardan iborat. Oldindagi "-" shunchaki ${x^3}$ ning $x$ o'qi haqidagi grafigini aks ettiradi va "+4" bu grafikni 4 birlik chapga siljitadi.

Shunday qilib, $\left( { - \infty ,\infty } \right)$ oralig'ida biz borligini aniq ko'rishimiz mumkin mutlaq ekstremal yo'q (grafik grafikning chap/o'ng tomonida chegaralarsiz o'sadi/kamayadi.). Shuningdek bor nisbiy ekstremal yo'q (nuqta atrofidagi hududda grafik maksimal yoki minimal bo'lgan "zarbalar" yo'q).

Har qanday ekstremal xususiyatlarga ega bo'lishi kerak bo'lgan funktsiyalarga shunchalik berilmang. Mutlaq yoki nisbiy ekstremaga ega bo'lmagan barcha turdagi grafiklar mavjud. Bu ulardan biri.

b $\left[ { - 5.5, - 2} \right]$ Yechim

Mana bu oraliqdagi funksiyaning grafigi.

$The graph of $h\left( x \right) = - {\left( {x + 4} \right)^3}$ on the interval $\left[ { - 5.5, - 2} \right]$. The graph falls from the closed endpoint $\left( { - 5.5,3.375} \right)$, flattens out as it passes through $\left( { - 4,0} \right)$ and then falls away to the closed endpoint $\left( { - 2, - 8} \right)$.$

Birinchi qismda bo'lgani kabi, bizda hali ham yo'q nisbiy ekstremal. Biroq, biz hozir yopiq intervalda ishlayotganimiz uchun (i.e. biz cheklangan so'nggi nuqtalar bilan intervalda ishlayapmiz va biz oxirgi nuqtalarni o'z ichiga olamiz) bizda bo'lishini ko'rishimiz mumkin mutlaq ekstremal oraliqda.

Bizda bo'ladi mutlaq maksimal $\left( { - 5.5,\,\,\,3.375} \right)$ nuqtasida va an mutlaq minimal $\left( { - 2, - 8} \right)$ nuqtasida.

c $\left[ { - 4, - 3} \right)$ Yechim

Mana bu oraliqdagi funksiyaning grafigi.

Bizda hali ham bor nisbiy ekstremal yo'q bu funktsiya uchun.

Chap so'nggi nuqtani intervalga kiritganimiz uchun bizda borligini ko'rishimiz mumkin mutlaq maksimal $\left( { - 4,0} \right)$ nuqtasida.

Biroq, biz to'g'ri yakuniy nuqtadan ehtiyot bo'lishimiz kerak. O'sha paytda bizda mutlaq minimal bordek tuyulishi mumkin, ammo bizda yo'q. Biz $x = - 3$ni intervalimizga kiritmayapmiz. Buning ma'nosi shundaki, biz $x = - 3$ ga yaqinroq va yaqinroq bo'lgan $x$ qiymatlarini olishda va ularning grafiklarini chizishda davom etamiz, lekin biz hech qachon $x = - 3$ ga erisha olmaymiz. Shuning uchun, texnik jihatdan, grafik hech qachon yakuniy qiymatga erishmasdan doimiy ravishda pasayadi. U -1 ga yaqinlashadi, lekin hech qachon bu nuqtaga etib bormaydi. Bu biz uchun nimani anglatadi, bo'ladi mutlaq minimal emas berilgan oraliqdagi funktsiyaning.

d $\left[ { - 4, - 3} \right]$ Yechim

Mana shu intervaldagi funksiyaning grafigi.

$The graph of $h\left( x \right) = - {\left( {x + 4} \right)^3}$ on the interval $\left[ { - 4, - 3} \right]$. It is a short decreasing piece of the graph that starts at the closed endpoint $\left( { - 4,0} \right)$ and falls to a closed dot at $\left( { - 3, - 1} \right)$, so both endpoints are included.$

E'tibor bering, bu qism va oldingi qism o'rtasidagi yagona farq shundaki, biz endi intervalga to'g'ri so'nggi nuqtani kiritamiz. Shuning uchun bu erdagi javoblarning aksariyati qism bilan bir xil (c).

bor nisbiy ekstremal yo'q oraliqdagi funksiyaning va mavjud mutlaq maksimal $\left( { - 4,0} \right)$ nuqtasida.

Endi qismdan farqli o'laroq (c) biz $x = - 3$ ni intervalga kiritamiz va shuning uchun biz o'ngga o'tayotganimizda grafik yakuniy nuqtaga etadi. Shuning uchun, bu interval uchun, biz bor mutlaq minimal $\left( { - 3, - 1} \right)$ nuqtasida.