4.7-bo'lim : O'rtacha qiymat teoremasi
6. \(f\left( x \right) = {x^3} - 7{x^2} + 25x + 8\) ning aynan bitta haqiqiy ildizga ega ekanligini ko'rsating.
Yechim
Avval \(f\left( 0 \right) = 8\) ekanligini ta'kidlaymiz. Agar biz manfiy bo'lgan funktsiya qiymatini topsak, Oraliq qiymat teoremasi (bu erda funksiya hamma joyda uzluksiz bo'lganligi sababli ishlatilishi mumkin) bizga funktsiya biror joyda nolga teng bo'lishi kerakligini aytadi. Boshqacha qilib aytganda, kamida bitta haqiqiy ildiz bo'lishi kerak edi.
\(x\) ning eng katta quvvati 3 ga teng bo'lgani uchun, agar \(x\) etarlicha katta va manfiy bo'lsa, funktsiya ham manfiy bo'lishi kerak. Biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa, ishlayotganini topmagunimizcha, salbiy \(x\)-ni ulashni boshlashimiz kerak. Aslida, biz ko'p ish qilishimiz shart emas: \(f\left( { - 1} \right) = - 25\).
Shunday qilib, biz \( - 25 = f\left( { - 1} \right) < 0 < f\left( 0 \right) = 8\) va shunga o'xshash Oraliq qiymat teoremasi bo'yicha funktsiya \(\left( { - 1,0} \right)\) oralig'ida nolga teng bo'lishi kerakligini ko'rishimiz mumkin. Intervalning o'zi muhim emas. Eng muhimi, bizda kamida bitta haqiqiy ildiz bor.
2-qadam
Keyinchalik, bir nechta haqiqiy ildiz bor deb faraz qilaylik. Bu ikkita raqam bo'lishi kerakligini anglatadi, masalan, \(a\) va \(b\), shunday qilib,
\[f\left( a \right) = f\left( b \right) = 0\]Keyinchalik, \(f\left( x \right)\) ko'phad bo'lgani uchun u hamma joyda uzluksiz va differentsial bo'ladi va shuning uchun biz Rolle teoremasidan \(c\) haqiqiy qiymat bo'lishi kerakligini ko'rishimiz mumkin, shuning uchun,
\[f'\left( c \right) = 0\]E'tibor bering, Rol teoremasi \(c\) \(a\) va \(b\) orasida bo'lishi kerakligini aytadi. Ularning ikkalasi ham haqiqiy qiymatlar bo'lgani uchun \(c\) ham haqiqiy bo'lishi kerak.
3-qadam
\(f\left( x \right)\) ko'phad bo'lgani uchun bunday \(c\) mavjudligini ko'rish juda oson.
\[f'\left( x \right) = 3{x^2} - 14x + 25\hspace{0.5in} \to \hspace{0.5in}3{c^2} - 14c + 25 = 0\hspace{0.5in} \to \hspace{0.5in}c = \frac{{7 \pm \sqrt {26} \,i}}{3}\]Shunday qilib, biz ko'rishimiz mumkinki, hosila nolga teng bo'lgan ikkita joy kompleks sonlardir va shuning uchun haqiqiy sonlar emas. Shuning uchun bir nechta haqiqiy ildiz bo'lishi mumkin emas.
1-bosqichdan biz kamida bitta haqiqiy ildiz borligini bilamiz va biz bir nechta haqiqiy ildizga ega bo'lmasligimizni isbotladik. Shuning uchun, bo'lishi kerak aynan bitta haqiqiy ildiz.