4.7-bo'lim : O'rtacha qiymat teoremasi
5. Faraz qilaylik, \(f\left( x \right)\) uzluksiz va \(\left[ { - 7,0} \right]\) intervalida differensiallanuvchi, bu \(f\left( { - 7} \right) = - 3\) va \(f'\left( x \right) \le 2\). \(f\left( 0 \right)\) uchun mumkin bo'lgan eng katta qiymat nima?
Yechim
Muammo bayonotida bizga funktsiya (nima bo'lishidan qat'iy nazar) o'rtacha qiymat teoremasining shartlariga javob berishini aytishdi, shuning uchun biz buni boshlaymiz va ma'lum qiymatlarni kiritamiz.
\[f\left( 0 \right) - f\left( { - 7} \right) = f'\left( c \right)\left( {0 - (-7)} \right)\hspace{0.5in} \to \hspace{0.5in}f\left( 0 \right) + 3 = 7f'\left( c \right)\]2-qadam
Keling, \(f\left( 0 \right)\) ni hal qilaylik.
\[f\left( 0 \right) = 7f'\left( c \right) - 3\]3-qadam
Nihoyat, keling, lotin haqida bilganimiz haqida qayg'uraylik. Bizga aytilishicha, hosilaning maksimal qiymati 2 ga teng. Shunday qilib, hosilaning mumkin bo'lgan maksimal qiymatini yuqoridagi \(f'\left( c \right)\) ga ulash, bu holda bizga \(f\left( 0 \right)\) ning maksimal qiymatini beradi. Shunday qilib,
\[f\left( 0 \right) = 7f'\left( c \right) - 3 \le 7\left( 2 \right) - 3 = 11\]Shunday qilib, \(f\left( 0 \right)\) uchun mumkin bo'lgan eng katta qiymat 11 dir. Yoki tengsizlik sifatida yozilsa, bu quyidagicha yoziladi:
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{f\left( 0 \right) \le 11}}\]