4.11-bo'lim : Chiziqli taxminlar
4. \(t = \frac{1}{2}\) da \(f\left( t \right) = \cos \left( {2t} \right)\) ga chiziqli yaqinlashishni toping. \(\cos \left( 2 \right)\) va \(\cos \left( 18 \right)\) qiymatini taxmin qilish uchun chiziqli yaqinlashuvdan foydalaning. Taxminan qiymatlarni aniq qiymatlar bilan solishtiring.
Yechim
Bizga birinchi navbatda hosila va bir nechta funktsiyani baholash kerak bo'ladi.
\[f'\left( t \right) = - 2\sin \left( {2t} \right)\hspace{0.5in}f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \cos \left( 1 \right)\hspace{0.5in}f'\left( {\frac{1}{2}} \right) = - 2\sin \left( 1 \right)\]2-qadam
Bu erda chiziqli yaqinlashish.
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{L\left( t \right) = \cos \left( 1 \right) - 2\sin \left( 1 \right)\left( {t - \frac{1}{2}} \right) = 0.5403 - 1.6829\left( {t - \frac{1}{2}} \right)}}\]Kalkulyatoringiz radyanlarda o'rnatilganligiga ishonch hosil qiling! Esda tutingki, biz ushbu sinfda sukut bo'yicha radianlardan foydalanamiz.
3-qadam
Endi, agar biz \(\cos \left( 2 \right)\) ni taxmin qilishni istasak, bu \(f\left( 1 \right) = \cos \left( 2 \right)\) ni baholashga teng, biz \(t = 1\) da chiziqli yaqinlashishni baholashimiz kerak. Xuddi shunday, \(\cos \left( {18} \right)\) ni taxmin qilish uchun biz \(t = 9\) da chiziqli yaqinlashishni baholashimiz kerak.
Shunday qilib, bu erda aniq qiymatlar bilan birga qiymatlarning taxminiy ma'lumotlari.
\[\begin{align*}L\left( 1 \right) & = - 0.301169 & \hspace{0.5in}f\left( 1 \right) & = - 0.416147 & \hspace{0.5in}{\mbox{% Error : }} & 27.6292\\ L\left( 9 \right) & = - 13.7647 & \hspace{0.5in}f\left( 9 \right) & = 0.660317 & \hspace{0.5in}{\mbox{% Error : }} & 2184.56\end{align*}\]Shunday qilib, biz kutganimizdek, \(t = \frac{1}{2}\) dan qanchalik uzoqroq bo'lsak, yaqinlashish shunchalik yomonroq bo'ladi. Eslatib o'tamiz, yaqinlashish odatda chiziqli yaqinlashish nuqtasiga qanchalik yaqin bo'lsa, aniqroq bo'ladi.