4.10-bo'lim : L'Hospital qoidalari va noaniq shakllar
6. \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } \frac{{{z^2} + {{\bf{e}}^{4\,z}}}}{{2z - {{\bf{e}}^{\,z}}}}\) ni baholash uchun L'Hospital qoidasidan foydalaning.
Yechim
Bu erda biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi qadam - bu L'Hospital qoidasi aslida ushbu chegarada ishlatilishi mumkinligini tekshirish.
Bizga L'Hospital qoidasidan foydalanish kerakligi aytilganda, bu ahmoqona qadam bo'lib tuyulishi mumkin. Biroq, keyingi bo'limlarda biz uni qachon/agar foydalanish mumkin bo'lsa ishlatishimiz aytilmaydi. Shuning uchun, biz haqiqatan ham qo'llashimiz mumkinligiga ishonch hosil qilish uchun uni qo'llashdan oldin foydalanish mumkinligini tekshirishni odat qilishimiz kerak. Agar biz L'Hospital qoidasini qo'llash mumkin bo'lmagan muammoga qo'llasak, biz noto'g'ri javob olishimizga deyarli amin bo'lamiz (har doim omadingiz bo'lishi va to'g'ri javob olishingiz mumkin, ammo agar shunday bo'lsa, biz juda omadli bo'lamiz).
Shunday qilib, tezkor tekshiruv shuni ko'rsatadiki,
\[{\mbox{as}}\,\,\,z \to \infty \hspace{0.5in}\frac{{{z^2} + {{\bf{e}}^{4\,z}}}}{{2z - {{\bf{e}}^{\,z}}}} \to \frac{\infty }{{ - \infty }}\]va shuning uchun bu L'Hospital qoidasidan foydalanishga ruxsat beruvchi shakl.
2-qadam
Shunday qilib, keling, L'Hospital qoidasini qo'llaylik.
\[\mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } \frac{{{z^2} + {{\bf{e}}^{4\,z}}}}{{2z - {{\bf{e}}^{\,z}}}} = \mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } \frac{{2z + 4{{\bf{e}}^{4\,z}}}}{{2 - {{\bf{e}}^{\,z}}}}\]3-qadam
Shu nuqtada chegarani sinab ko'raylik va buni amalga oshirish mumkinligini bilib olaylik. Biroq, bu holatda biz buni ko'rishimiz mumkin,
\[{\mbox{as}}\,\,\,z \to \infty \hspace{0.5in}\frac{{2z + 4{{\bf{e}}^{4\,z}}}}{{2 - {{\bf{e}}^{\,z}}}} \to \frac{\infty }{{ - \infty }}\]4-qadam
Shunday qilib, L'Hospital qoidasidan foydalanish biz qila oladigan chegarani bermaydi. Biroq, yangi chegara L'Hospital qoidasidan foydalanishi mumkin, shuning uchun buni qilaylik.
\[\mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } \frac{{{z^2} + {{\bf{e}}^{4\,z}}}}{{2z - {{\bf{e}}^{\,z}}}} = \mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } \frac{{2z + 4{{\bf{e}}^{4\,z}}}}{{2 - {{\bf{e}}^{\,z}}}} = \mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } \frac{{2 + 16{{\bf{e}}^{4\,z}}}}{{ - {{\bf{e}}^{\,z}}}}\]5-qadam
Endi, bu nuqtada biz ehtiyot bo'lishimiz kerak. Aftidan, biz hali ham cheksizlikka bo'lingan cheksizlik holatidamiz va agar L'Hospital qoidasini qo'llashda davom etsak, bu abadiy davom etadi. Biroq, iloji bo'lsa, ba'zi bir oddiy soddalashtirishni unutmang.
Agar biz soddalashtirsak, biz quyidagilarni olamiz.
\[\mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } \frac{{{z^2} + {{\bf{e}}^{4\,z}}}}{{2z - {{\bf{e}}^{\,z}}}} = \mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } \left( {2 + 16{{\bf{e}}^{4\,z}}} \right)\left( { - {{\bf{e}}^{\, - z}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } \left( { - 2{{\bf{e}}^{\, - z}} - 16{{\bf{e}}^{3\,z}}} \right)\]va bu biz cheklashimiz mumkin bo'lgan narsadir.
Demak, javob:
\[\mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } \frac{{{z^2} + {{\bf{e}}^{4\,z}}}}{{2z - {{\bf{e}}^{\,z}}}} = \mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } \left( { - 2{{\bf{e}}^{\, - z}} - 16{{\bf{e}}^{3\,z}}} \right) = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{ - \infty }}\]Yana shuni ta'kidlash kerakki, iloji boricha soddalashtirishni amalga oshirishingiz kerak. Ushbu muammolarning ba'zilari uchun bu muammoni hal qilish yoki qilmaslik o'rtasidagi farqni anglatishi mumkin.