3.10-bo'lim : Yashirin farqlash
3. \({x^2} + {y^2} = 2\) uchun quyidagi amallarning har birini bajaring.
- Y uchun tenglamani yechish va to'g'ridan-to'g'ri farqlash orqali \(y'\) ni toping.
- Yashirin farqlash orqali \(y'\) ni toping.
- (a) va (b) dagi hosilalar bir xil ekanligini tekshiring.
Yechim
Birinchidan, biz faqat \(y\) uchun tenglamani hal qilishimiz kerak.
\[{y^2} = 2 - {x^2}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,y = \pm {\left( {2 - {x^2}} \right)^{\frac{1}{2}}}\]E'tibor bering, chunki bizda \(y\) (i.e. biz \(y\) ijobiy yoki salbiy ekanligini bilmaymiz) bizda haqiqatan ham "\( \pm \)" bo'lishi kerak va bu lotinni olishda muammolarga olib keladi.
2-qadam
Endi, \(y\) uchun ikkita formula borligi sababli, bizda hosila uchun ikkita formula mavjud bo'ladi, \(y\) uchun har bir formula uchun bittadan.
Demak, hosilalar,
\[\begin{align*}y & = {\left( {2 - {x^2}} \right)^{\frac{1}{2}}}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{y' = - x{{\left( {2 - {x^2}} \right)}^{ - \,\,\frac{1}{2}}}}}\hspace{0.5in}\left( {y > 0} \right)\\ y & = - {\left( {2 - {x^2}} \right)^{\frac{1}{2}}}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{y' = x{{\left( {2 - {x^2}} \right)}^{ - \,\,\frac{1}{2}}}}}\hspace{0.5in}\left( {y < 0} \right)\end{align*}\]Yuqorida ta'kidlanganidek, birinchi hosila \(y > 0\) uchun, ikkinchisi esa \(y < 0\) uchun amal qiladi va biz \(y = 0\) uchun ham foydalanishimiz mumkin, chunki ortiqcha/minus bu holatga ta'sir qilmaydi.
Yechim
Birinchidan, biz \(x\)ga nisbatan hamma narsaning hosilasini olishimiz kerak va biz \(y\) haqiqatan ham \(y\left( x \right)\) ekanligini esga olishimiz kerak, shuning uchun biz \(y\) ishtirokidagi atamalarning hosilasini olishda zanjir qoidasidan foydalanishimiz kerak.
Hosilini olish, beradi,
\[2x + 2y\,y' = 0\]2-qadam
Va nihoyat, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa buni \(y'\) uchun hal qilishdir.
\[y' = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{ - \frac{x}{y}}}\]c (a) va (b) dagi hosilalar bir xil ekanligini tekshiring. Yechim
Kimdan (a) bizda \(x\) funksiyasi sifatida aniq yozilgan \(y\) formulasi bor, shuning uchun uni biz topgan lotinga ulang. (b) va biroz soddalashtirish/ishlash bilan biz kiritganimizdek hosila olishimizni ko'rsating (a).
Bundan tashqari, bizda \(y\) uchun ikkita formula mavjud bo'lgani uchun hosila uchun ikkita formulaga ega bo'lamiz.
Birinchidan, agar \(y > 0\) bizda bo'lsa,
\[y = {\left( {2 - {x^2}} \right)^{\frac{1}{2}}}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}y' = - \frac{x}{y} = - \frac{x}{{{{\left( {2 - {x^2}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}} = - x{\left( {2 - {x^2}} \right)^{ - \,\,\frac{1}{2}}}\]Keyinchalik, agar \(y < 0\) bizda bo'ladi,
\[y = - {\left( {2 - {x^2}} \right)^{\frac{1}{2}}}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}y' = - \frac{x}{y} = - \frac{x}{{ - {{\left( {2 - {x^2}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}} = x{\left( {2 - {x^2}} \right)^{ - \,\,\frac{1}{2}}}\]Shunday qilib, ikkala holatda ham biz kerak bo'lgan bir xil hosila oldik.